罗尔定理
罗尔定理是微分学中的一个基本定理。它是一种特殊情况,实际上等价于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/mean-value-theorem/" class="wiki_link" title="中值定理" target="_blank">中值定理,这反过来又是证明的必要成分<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fundamental-theorem-of-calculus/" class="wiki_link" title="微积分基本定理" target="_blank">微积分基本定理.
总结
该定理表述如下:
罗尔定理
对于任何函数 在区间内是连续的 在区间内是可微的 在哪里 至少存在一点 在哪里 在间隔内
这方面的图形演示将有助于我们的理解;实际上,你会觉得这很明显:
在上图中,我们可以将任意两点设为 而且 只要 函数在区间内是可微的 那么,当然,在这两者之间必须有一个点 也就是图中的红点。现在我们来看看这个定理的数学证明。
我们将其分为两种情况:
(1) 是常数函数。
如果 是常数函数吗 在整个区间内。那么,当然,存在一个 这样 在间隔内
(2) 不是常数函数。
当 不是常数函数而是在区间内连续的 根据<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/extreme-value-theorem/">极值定理, 区间内必须有最大函数值和最小函数值 自 不是常数函数,区间内至少有一个极值必须存在
(2) 1
如果 它的最大函数值是多少 在 然后是实数 谁的绝对值小到这样 由此可见
因此我们有
自 在区间内是可微的吗 根据夹逼定理
(2) 2
如果 它的函数值最小 在 然后是实数 谁的绝对值小到这样 由此可见
因此我们有
自 在区间内是可微的吗 根据夹逼定理
因此,无论给定哪种情况,都存在一个点 在间隔内
显然,罗尔定理成立,函数必须在我们考虑的区间内是可微的。因此罗尔定理不能应用于这样的函数
例子问题
当
表明, 在区间中至少有一个根 利用罗尔定理。
观察到 在区间内是连续的吗 可微的
的函数值 在 是
然后从 而且 ,证明罗尔定理是可以应用的。根据罗尔定理,存在一个点在 在这段时间
当
表明, 在区间中至少有一个根 利用罗尔定理。
观察到 在区间内是连续的吗 可微的
的函数值 在 是
然后从 而且 ,证明罗尔定理是可以应用的。根据罗尔定理,存在一个点在 在这段时间
证明下列公式在区间中至少有一个根
让 然后
在哪里 是积分常数。自 在区间内是连续的吗 在区间内是可微的 而且 我们可以应用罗尔定理。根据罗尔定理,一定有一个点 在间隔内
因此,给定方程在区间内至少有一个根
证明下列公式在区间中至少有一个根
自 在给定区间内不等于0,这个方程等于什么
让 然后
在哪里 是积分常数。自 在区间内是连续的吗 在区间内是可微的 而且 我们可以应用罗尔定理。根据罗尔定理,一定有一个点 在间隔内
因此,给定方程在区间内至少有一个根