以下是六个示例问题:
如果<年代pan class="katex">
x是正实数,然后求最小值<年代pan class="katex-display">
(x+x1)3.+(x3.+x3.1)(x+x1)6−(x6+x61)−2.
假设<年代pan class="katex">
P和<年代pan class="katex">
问点在两边吗<年代pan class="katex">
一个B和<年代pan class="katex">
一个C分别的<年代pan class="katex">
△一个BC.两边的垂线<年代pan class="katex">
一个B和<年代pan class="katex">
一个C在<年代pan class="katex">
P和<年代pan class="katex">
问分别在<年代pan class="katex">
D,的内点<年代pan class="katex">
△一个BC.如果<年代pan class="katex">
米中点是<年代pan class="katex">
BC,证明<年代pan class="katex">
P米=问米当且仅当<年代pan class="katex">
∠BDP=∠CD问.
让<年代pan class="katex-display">
N=25+252+253.+⋯+252015.用通常的小数形式写,求这个数字的后两位<年代pan class="katex">
N.
两个圆<年代pan class="katex">
Σ1和<年代pan class="katex">
Σ2有各自的中心<年代pan class="katex">
C1和<年代pan class="katex">
C2相交于<年代pan class="katex">
一个和<年代pan class="katex">
B.让<年代pan class="katex">
P成为这个环节中的一个点<年代pan class="katex">
一个B与<年代pan class="katex">
一个P=PB.线通过<年代pan class="katex">
P垂直于<年代pan class="katex">
C1P满足<年代pan class="katex">
Σ1在<年代pan class="katex">
C和<年代pan class="katex">
D.线通过<年代pan class="katex">
P垂直于<年代pan class="katex">
C2P满足<年代pan class="katex">
Σ2在<年代pan class="katex">
E和<年代pan class="katex">
F.证明<年代pan class="katex">
C,D,E,和<年代pan class="katex">
F形成一个矩形。
解方程<年代pan class="katex-display">
y3.+3.y2+3.y=x3.+5x2−19x+20为正整数<年代pan class="katex">
x和<年代pan class="katex">
y.
从正整数列表中,假设我们去掉所有7、11和13的倍数。数字1002出现在结果列表的哪个位置?在3600位置是什么数?
以下是另外六个示例问题:
让<年代pan class="katex">
一个BC是一个三角形。让<年代pan class="katex">
B”和<年代pan class="katex">
C”分别表示反射<年代pan class="katex">
B和<年代pan class="katex">
C在内等分线中<年代pan class="katex">
∠一个.表明,三角形<年代pan class="katex">
一个BC和<年代pan class="katex">
一个B”C”有相同的中心。
让<年代pan class="katex">
P(x)=x2+一个x+b是一个实数二次多项式。假设有实数<年代pan class="katex">
年代=t这样<年代pan class="katex">
P(年代)=t和<年代pan class="katex">
P(t)=年代.证明<年代pan class="katex">
b−年代t是方程的根吗<年代pan class="katex">
x2+一个x+b−年代t=0.
找到所有的整数<年代pan class="katex">
一个,b,c这样<年代pan class="katex">
一个2=bc+1,b2=c一个+1.
假设32个物体以相等的距离沿一个圆放置。有多少种方法可以从其中选择3个物体,使3个选择的物体中没有两个相邻或完全相反?
两个圆<年代pan class="katex">
G1和<年代pan class="katex">
G2在平面上相交于两点<年代pan class="katex">
一个和<年代pan class="katex">
B的中心<年代pan class="katex">
G2躺在<年代pan class="katex">
G1.让<年代pan class="katex">
C和<年代pan class="katex">
D在<年代pan class="katex">
G1和<年代pan class="katex">
G2,例如<年代pan class="katex">
C,B,和<年代pan class="katex">
D共线。让<年代pan class="katex">
E在<年代pan class="katex">
G2是这样的,<年代pan class="katex">
DE平行于<年代pan class="katex">
一个C.表明,<年代pan class="katex">
一个E=一个B.
求所有实数<年代pan class="katex">
一个这样<年代pan class="katex">
4<一个<5和<年代pan class="katex">
一个(一个−3.{一个})是一个整数。<年代pan class="katex">
(在这里<年代pan class="katex">
{一个}为的小数部分<年代pan class="katex">
一个.例如{<年代pan class="katex">
1.5} =<年代pan class="katex">
0.5;{<年代pan class="katex">
−3..4} =<年代pan class="katex">
0.6.)
以下是另外六个示例问题:
在一个锐角<年代pan class="katex">
△一个BC,<年代pan class="katex">
∠一个BC是最大的角。的垂直平分线<年代pan class="katex">
BC和<年代pan class="katex">
B一个相交<年代pan class="katex">
一个C在<年代pan class="katex">
X和<年代pan class="katex">
Y,分别。证明那个圆心<年代pan class="katex">
△一个BC的中心是什么<年代pan class="katex">
△BXY.
让<年代pan class="katex">
x,y,z是正数。证明<年代pan class="katex-display">
xy2+z2+yz2+x2+zx2+y2≥2(x+y+z).
找到所有对<年代pan class="katex">
(x,y)正整数的集合<年代pan class="katex">
2x+7y分<年代pan class="katex">
7x+2y.
对于任何正整数<年代pan class="katex">
n>1,让<年代pan class="katex">
P(n)表示不超过的最大素数<年代pan class="katex">
n.让<年代pan class="katex">
N(n)表示下一个大于的质数<年代pan class="katex">
P(n).<年代pan class="katex">
(例如,<年代pan class="katex">
P(10)=7和<年代pan class="katex">
N(10)=11.)如果<年代pan class="katex">
n是质数吗,证明一下<年代pan class="katex-display">
P(2)N(2)1+P(3.)N(3.)1+⋯+P(n)N(n)1=2n+2n−1.
让<年代pan class="katex">
△一个BC与…成三角形<年代pan class="katex">
一个B>一个C.让<年代pan class="katex">
P是线后面的一个点<年代pan class="katex">
一个这样<年代pan class="katex">
一个P+PC=一个B.让<年代pan class="katex">
米是…的中点<年代pan class="katex">
BC,让<年代pan class="katex">
问做一个侧面的点<年代pan class="katex">
一个B这样<年代pan class="katex">
C问⊥一个米.证明<年代pan class="katex">
B问=2一个P.
每个方格<年代pan class="katex">
n×n网格<年代pan class="katex">
(n奇怪的<年代pan class="katex">
)是任意填充的吗<年代pan class="katex">
1或通过<年代pan class="katex">
−1.让<年代pan class="katex">
rj和<年代pan class="katex">
ck表示中所有数的乘积<年代pan class="katex">
jth行和<年代pan class="katex">
kth列,分别<年代pan class="katex">
1≤j,k≤n.证明<年代pan class="katex-display">
j=1∑nrj+k=1∑nck=0.