最右非零位 $n !$

找到后面跟着零的个数 $n !$是一种基本和标准的方法来给出末尾0的个数吗 $n !$．但发现最右边的零位是一个经常被问到的问题，却很少有人知道。

让

$mathfrak{D} (n!) = {left\lfloor \frac n5 \right\rfloor}!\ * 2 ^{{} ^{\ \大lfloor{\大型\压裂{n}{5}} \ \大rfloor}} \ * {(n \ bmod{5})} !。$

• 如果 ${left\lfloor \frac n5 \right\rfloor}!$是足够小的，那么 $D \ mathfrak {} (n !)$给出了最右边的非零位的值 $n !$．

• 否则，我们求出的个位数 $2 ^{{} ^{\ \大lfloor{\大型\压裂{n}{5}} \ \大rfloor}} \ * (n \ bmod {5}) !$，我们称之为 $d \ mathfrak {} _1$．现在我们解出 $mathfrak{D} \left({left\lfloor \frac n5 \right\rfloor}!)\右)$．同样，如果我们得到一个足够小的值 ${left\lfloor \frac 15 \cdot {big\lfloor \frac n5 \big\rfloor} \right\rfloor}!$，然后求的个位数 $mathfrak{D} \left({left\lfloor \frac n5 \right\rfloor}!)\右)$ $（$调用这个 $d \ mathfrak {})$最后的答案是 $d \ mathfrak {} _1 \ * \ mathfrak {d}$．

• 如果没有出现这种情况，则继续迭代 $\mathfrak{D} \bigg(\overbrace{{bigg\lfloor \frac 15 \cdot {\cdots \left\lfloor \frac 15 \cdot {left\lfloor \frac 15 \cdot {left\lfloor \frac 15 \cdot{大\lfloor \frac n5大\rfloor} \right\rfloor} \right\rfloor} \cdots \big\rfloor} !}^{text{value of expression} = \， m!} \境)$并记录乘积的个位数 $2^{a_i} \times (b_i \bmod{5}) !$ $\大($在哪里 $ai$和 $b_i$是从最初的定义来遵循的吗 $D \ mathfrak {} (n) \大)$并叫他们 $d \ {\ mathfrak {} _1, \ mathfrak {d} _2, \ cdots \ mathfrak {d} _k \}$．一旦我们得到一个足够小的值 $米!$，求的个位数 $D \ mathfrak {} (m)$ $（$调用这个 $d \ mathfrak {})$最后的答案是

$^k \mathfrak{d_i} \times \mathfrak{d}。$

$\大($这里足够小的值 $米!$是指 $米\ \{1、2、3、4 \}\大)。$

我们第一次扩大 $n !$作为

$n != 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * cdots * (n-2) * (n-1) * n。$

现在我们的目标是收集所有包含5的倍数 $n !$然后把剩下的项按四个连续整数分组。注意，会有 $左地板右地板$5的倍数 $n !$．

因此

$\{对齐}开始n !& = \境(5 \乘以10 \ 20乘以15 \ \ * \ cdots \ * \左左(5 \ \ lfloor \ dfrac它们被正确\ \ rfloor \) \境)\乘以(1 \ * 2 \ * 3 \ * 4)\ *(6 \ * 7 \乘以8 \ * 9)\ * \ cdots \ \ & = \境(5 ^{{}^{\ \大lfloor{\大型\压裂{n}{5}} \ \大rfloor}} \ * {\ \ lfloor \ dfrac离开它们被正确\ \ rfloor} !(1 × 2 × 3 × 4) × (6 × 7 × 8 × 9) × cdots。结束\{对齐}$

我们知道 $n !$低素数的分布总是大于或等于高素数的分布。因此我们知道我们可以找到一个倍数 $2 ^{{} ^{\ \大lfloor{\大型\压裂{n}{5}} \ \大rfloor}}$(或更高的指数2)从4个连续的整数组中的每一组，这是5的非整数倍数。

还要注意，对于连续的5的非倍数，我们有

$(5 k + 1) (5 k + 2) (5 k + 3) (5 k + 4) = {{# 3 d99f6} \颜色\ 625大(k ^ 4 + k ^ 2 \大)+ 10 \大(125 k ^ 3 + 25 k ^ 2 + 25 k \大)}+ 24。颜色\ qquad {\ {# 20 a900} (*)}$

现在 $k ^ 4 + k ^ 2$偶数和奇数都是偶数吗 $k$．这表明 $625 \大(k ^ 4 + k ^ 2 \大)$能被整除 $10$对于所有非负整数 $k$因此上面的表达式是 ${# 3 d99f6} \颜色\文本{蓝}$能被整除 $10$对所有 $k$．因此，4个连续的5的非整数倍数的乘积，在公式化时，总是在单位位上有4。

如果我们从每一组4中提取所有2的倍数 $\大($这也 ${big\lfloor \frac n5 \big\rfloor}$在数量上 $\大),$我们知道每一组都能得到个位数为2的乘积。

因此

$\begin{aligned} \big(\text{Rightmost non-zero digit of} n!\big) &= 5^{{{}^{大\lfloor{大\frac{n}{5}} \大\rfloor}} \times {left\lfloor \frac n5 \right\rfloor}!\乘2^{{}^{big\lfloor {\big\ frac{n}{5}} \big\rfloor}} \乘2 \乘2 \乘cdots {left\lfloor \frac n5 \right\rfloor} \text{times}) \乘{color{#D61F06} \big(n \bmod{5} \big)!} \\\\ &= {\ 左\ lfloor \ dfrac它们\ \ rfloor} !\ * 2 ^{{} ^{\ \大lfloor{\大型\压裂{n}{5}} \ \大rfloor}} \ * {{# D61F06} \ \颜色大(n \ bmod{5} \大)!}。结束\{对齐}$

$\大($注意,如果 ${big\lfloor \frac n5 \big\rfloor}!$如果不够小，那么就要进行迭代。 $\大)$

最后一个学期 $（$所示 ${{# D61F06} \ \颜色文本{红}})$来自于这个事实 $n$可以是任何一种形式吗 $5 k, 5 k + 1, 5 k + 2, 5 k + 3, 5 k + 4$因此可能是也可能不是一个四人小组的成员。在这种情况下，当它不在4个组中时，它将在一个组中 $(n \ bmod {5})$．例如,如果 $n = 12,$4个组是 $(1、2、3、4)$和 $(6、7、8、9)$．剩下的数字是 $(11、12),$其中12个被包括在 $(12 \equiv 2 \bmod{5})$．包含的最后一组整数的乘法运算 $n$会产生一个个位数等于的乘积吗 $(n \bmod{5})!$．这个结果可以用类似的方法来证明 ${{# 20 a900} \颜色(*)}$．

这就完成了我们的证明。 $_ \广场$

求的最右边的非零位 $501年!$．

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使用我们的连续迭代方法，我们有

$\begin{aligned} \mathfrak{D} (501!) &=& {left\lfloor \dfrac{501}{5} \right\rfloor}!* 2^{{lfloor {501}/{5} \rfloor} \big(501 \bmod{5} \big)!& = & 100 !\乘以2^{100}\乘以1!\ \ \ mathfrak {D}(100) & = &{\左\ lfloor \ dfrac{100}{5} \右\ rfloor} !* 2^{\lfloor {100}/{5} \rfloor} * big(100 \bmod{5} \big)!& = & 20 !\ * 2 ^ {20} \ \ \ mathfrak {D}(20) & = &{\左\ lfloor \ dfrac{20}{5} \右\ rfloor} !乘2^{{lfloor {20}/{5} \rfloor}乘大(20 \bmod{5} \big)!& = & 4 ! \times 2^{4}. \end{aligned}$

结合以上三个结果，我们得出

$\begin{aligned} \mathfrak{D} (501!) &= \big(\text{Units digit of} 2^{100}\big) \times \big(\text{Units digit of} 2^{20}\big) \times \big(\text{Units digit of} 4!)\cdot 2^4\big)\\ &= \big(\text{Units digit of} 6 \乘以6 \乘以4\big)\\ &= 4。\ \ _ \广场结束{对齐}$

在这里添加一个例子。