基本的三角函数

三角学来源于两个词根，trigonon(或“triangle”)和metria(或“measure”)。因此，研究三角就是研究三角形的尺寸。我们可以在三角形中测量什么?首先浮现在脑海中的可能是边长，三角形的内角，或者三角形所包含的面积。我们第一次探索三角函数将角度测量值与边的长度连接起来。

三角函数将直角三角形中的角度与边的比率联系起来。给定以下三角形：

$} \水平间距{4厘米$

定义了基本的三角函数 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$作为

$c \开始{数组}{}& \罪\θ= \压裂{b} {c}, & \ cosθ= \ \压裂{一}{c},谭& \ \θ= \压裂{b}{}。结束\{数组}$

如果我们考虑角度 $\θ$把这些边标记为“关于” $\θ$,然后 $一个$是“相邻”边的长度， $b$是“对”边的长度，和 $c$是斜边的长度。那么基本三角函数可以表示为：

$\开始{array}{c}&\sin\theta=\frac{\text{antime}}{\text{斜边}}，&\cos\theta=\frac{\text{antiment}}{\text{antiment}}}，&\tan\theta=\frac{\text{antime}}{\text{antime}}}{\text{antiment}}}结束{array}$

要回顾角度和弧度之间的转换，请参阅<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/degrees-radian/" class="wiki_link" title="度和弧度" target="_blank">度和弧度．然而，一个更有用的定义来自<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/unit-circle-basic-concept-for-higher-trigonometry/" class="wiki_link" title="单位圆" target="_blank">单位圆. 如果我们考虑一个半径为1单位的圆，以原点为中心，然后是角度。 $\θ$圆的内部描述了一个直角三角形，当我们垂直于 $x$从与圆的交点开始。

单位圆

请注意，这样描述的直角三角形的斜边等于圆的半径，相邻的边等于圆的半径 $x$点的坐标 $(x, y),$对边等于 $y$-协调。这自然产生了以下精确的定义：

$c \开始{数组}{}& \罪\θ= \压裂{y}{半径}}{\文本,& \ cosθ= \ \压裂{x}{半径}}{\文本,谭& \ \θ= \压裂{y} {x}。结束\{数组}$

如上图所示，由于半径为 $1$在单位圆中，这个化简为 $x=\cos\theta$和 $y = \罪\θ$．

这些定义的优点是与上面的三角形定义兼容，并且允许计算与任何实数对应的角度。

这些函数的某些值是很容易记住的。它们是:

$c c \开始{数组}{| | | | c c c | | |} \线\θ& 0 ^ \保监会& \压裂{\π}{6}= 30 ^ \保监会& \压裂{\π}{4}= 45 ^ \保监会& \压裂{\π}{3}= 60 ^ \保监会& \压裂{\π}{2}= 90 ^ \保监会\ \ \线\罪\θ& \压裂{\ sqrt{0}}{2} & \压裂{\ sqrt{1}}{2} & \压裂{\ sqrt{2}}{2} & \压裂{\ sqrt{3}}{2} & \压裂{\ sqrt{4}}{2} \ \ \线\ cosθ& \ \压裂{\ sqrt {4}}{2} & \frac {\sqrt{3}} {2} & \frac {\sqrt{2}} {2} & \frac {\sqrt{1}} {2} & \frac {\sqrt{0}} {2}\\ \hline \tan \theta & 0 & \frac { 1}{\sqrt{3} } & 1 & \sqrt{3} &\infty{} \\ \hline \end{array}$

这样写的原因是为了帮助记住这些术语。例如，分子 $\sin\theta$是的平方根吗 $0 1 2 3$或 $4.$为了将这些值在单位圆上形象化，请看<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的特定值" target="_blank">三角函数的特定值．

什么值 $\θ$满足

$\begin{array}{c}&0 \leq \theta < 2 \pi &\text{and}& \cos \theta = 0?结束\{数组}$

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解决这类问题的一个好方法是想象上面所示的单位圆图。在这个单位圆图中， $\ \因为θ$是 $x$协调。因此，问题是问角度 $\θ$谁的 $x$-坐标等于 $0$，发生在单位圆与单位圆相交的两点处 $y$-轴线： $\θ= \压裂{\π}{2}$和 $3 \ \θ= \压裂{π}{2}$．因为这些角满足给定条件，所以这两个角是 $\θ= \压裂{\π}{2}$和 $3 \ \θ= \压裂{π}{2}$． $_\方格$

如果 $\θ$角度是这样的吗 $cos = 0，$可能的值是什么 $\sin\theta$？

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解决方案1：
正如我们上面看到的， $\ \因为θ= 0$对应于单位圆上的点 $x$协调是 $0$．因为这些点在与 $y$的可能值 $\sin\theta$是可能的 $y$坐标, $1$和 $－1$． $_\方格$

解决方案2：
根据第一个示例，如果 $\ \因为θ= 0$和 $0 leq < 2$,然后 $\θ=\frac{\pi}{2}$或 $3 \ \θ= \压裂{π}{2}$. 请注意，对于 $\θ$在这个范围之外，我们有 $\sin\theta=\sin（\theta\pm2\pi），$所以我们可以加减乘数 $2 \π$直到 $\θ$在这个范围内。为 $\θ= \压裂{\π}{2}$，我们有 $sin = 1$以及 $3 \ \θ= \压裂{π}{2}$，我们有 $sin = -1$．因此，的可能值 $\sin\theta$是 $1$和 $－1$． $_\方格$

如果 $\θ$直角三角形中的角是这样的吗 $sin = frac{1}{2}，$它的价值是什么 $\cos\theta$？

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自 $\θ$是直角三角形中的一个角，一定是这样 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$．

从上面的表格中，我们可以看到这个值 $\θ$以致 $\ sinθ(\)= \压裂{1}{2}$是 ${6} = 30^{{circ}。$此外,自 $y$单位圆上各点的-坐标为 $\θ$从 $0$来 $\压裂{\π}{2}$,该值 $\θ= \压裂{\π}{6}$唯一值是这样的吗 $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$和 $\sin\theta=\frac{1}{2}$．然后,我们有 $\ cosθ= \ \因为\压裂{\π}{2}= \压裂{\ sqrt {3}} {2}$． $_\方格$

在上面的三角函数具体值表中，为什么没有值 $\tan\frac{\pi}{2}$？发生了什么 $谭\ \θ$作为 $\θ$越来越接近 $\压裂{\π}{2}$？

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由以上定义 $谭\ \θ$，我们有 $谭\ \θ= \压裂{\罪\θ}{\ cosθ\}= \压裂{y} {x}$哪里 $（x，y）$是吗 $x$- - - $y$角度点的坐标 $\θ$在单位圆上。作为 $\θ$走向 $\压裂{\π}{2}$， $\ \因为θ$(修订) $x$-坐标）变得越来越小，而 $\sin\theta$(修订) $y$-坐标)变得越来越接近 $1$．因此，分子 $谭\ \θ= \压裂{y} {x}$方法 $1$分母趋于 $0$，暗示 $谭\ \θ$趋向于无穷。 $_\方格$

要学习其他三角函数，请阅读<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/reciprocal-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="倒三角函数" target="_blank">倒三角函数和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/inverse-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="反三角函数" target="_blank">反三角函数．

有一些基本三角函数值值得记住。它们是：

$c c \开始{数组}{| | | | c c c | | |} \线\θ& 0 ^ \保监会& \压裂{\π}{6}= 30 ^ \保监会& \压裂{\π}{4}= 45 ^ \保监会& \压裂{\π}{3}= 60 ^ \保监会& \压裂{\π}{2}= 90 ^ \保监会\ \ \线\罪\θ& \压裂{\ sqrt{0}}{2} & \压裂{\ sqrt{1}}{2} & \压裂{\ sqrt{2}}{2} & \压裂{\ sqrt{3}}{2} & \压裂{\ sqrt{4}}{2} \ \ \线\ cosθ& \ \压裂{\ sqrt {4}}{2} & \frac {\sqrt{3}} {2} & \frac {\sqrt{2}} {2} & \frac {\sqrt{1}} {2} & \frac {\sqrt{0}} {2}\\ \hline \tan \theta & 0 & \frac { 1}{\sqrt{3} } & 1 & \sqrt{3} & \pm \infty \\ \hline \end{array}$

这样写的原因是为了帮助记住这些术语。例如，分子 $\sin\theta$就是√0 1 2 3 4。

单位圆可视化

我们也可以将单位圆中的余弦值和正弦值形象化:

因为余弦函数对应于 $x$值时，余弦函数将为正值 $x$值是正的，当 $x$值是负的。类似地，因为正弦函数对应于 $y$值时，正弦函数将为正 $y$值是正的，当 $y$值为负值。这在平面的四个象限中为我们提供了以下行为：

然后通过使用第一象限的几个特定值，我们可以算出所有象限中余弦函数和正弦函数的特定值。这里是所有象限的可视化:

图片由commons.wikimedia.org

价值是什么 $\θ$范围内 $0 leq < 2$以致 $sin = cos$？

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从上面的单位圆可视化中，我们可以看到 $\θ= \压裂{\π}{4}$和 $\θ=\frac{5\pi}{4}$满足

$\begin{aligned}\sin\left（\frac{\pi}{4}\right）&=\cos\left（\frac{\pi}{4}\right）=\frac{\sqrt{2}}\\\ sin\left（\frac{5\pi}{4}\right）&=\cos\left（\frac{5\pi}{4}\right）=\frac{2}{\结束{对齐}$

我们也观察到这条线 $y = x$只与这两个单位圆相交 $\θ$的值 $\θ$满足要求的条件是 $\θ= \压裂{\π}{4}$和 $\theta = frac{5\pi}{4} .\ _\平方$

什么值 $\θ$范围内 $0 leq < 2$满足 ${sqrt{2}}{2}$？

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通过画线 $y = \压裂{\ sqrt {2}} {2},$我们想求的是 $\θ$这样的话 $y$-角度的值 $\θ$位于该线上方的单位圆上（自 $\sin\theta$对应于 $y$-单位圆的坐标）。这适用于 $\theta\in\left[\frac{\pi}{4}\frac{3\pi}{4}\right]$，所以这些是 $\θ$令人满意的 ${sqrt{2}}{2}。\ _ \广场$

价值是什么 $\θ$范围内 $0 leq < 2$以致 $sin = - cos$？

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从上面的单位圆可视化中，我们可以看到 $3 \ \θ= \压裂{π}{4}$和 $7 \ \θ= \压裂{π}{4}$满足

$罪\开始{对齐}\ \离开(\压裂{3 \π}{4}\右)& = - \因为\离开(\压裂{3 \π}{4}\右)= \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ \ \罪\离开(\压裂{7 \π}{4}\右)& = - \因为\离开(\压裂{7 \π}{4}\右)= - \压裂{\ sqrt{2}}{2}。结束\{对齐}$

我们也观察到这条线 $y = - x$与单位圆相交的值仅为 $\θ$的值 $\θ$满足要求的条件是 $3 \ \θ= \压裂{π}{4}$和 $7 \ \θ= \压裂{π}{4}。\ _ \广场$

为了获得更多的值，我们将需要使用一些<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/?subtopic=trigonometric-identities&chapter=sum-and-difference-trigonometric-formulas">三角函数的公式喜欢<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/sum-and-difference-formulas/" class="wiki_link" title="金额和差异" target="_blank">金额和差异和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="总和乘积" target="_blank">总和乘积．如果你对它们不熟悉，请先跳过这一部分，待会再回来看。

让我们看看和和差公式的应用。

评估 $15 ^ \ \因为保监会$．

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用的差分公式 $\因为$，我们有

$15 ^ \ \开始{对齐}\因为保监会& = \ cos(45 ^ \保监会- 30 ^ \保监会 ) \\ & = \ 因为45 ^ 30 ^ \ \中国保监会\因为保监会+ 45 ^ \保监会\ \罪sin30 ^ \保监会\ \ & = \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ * \压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ \压裂{1}{2 } \\ & = \ 压裂大概{2}{\ \√{3}+ 1)}{4 } \\ & = \ 压裂{\ sqrt {6} + \ sqrt{2}}{4}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

让我们看看二倍角公式的应用。

评估 $15 ^ \ \罪保监会$．

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我们知道 $cos 30 ^ circ = 1 - 2 sin^2 15 ^ circ$所以 $(2-根号{3}}$．自 $15 ^ \ \罪保监会$是正的，我们取正平方根，得到这个

$\sin 15^\circ=\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}.\\square$

多少个整数 $x$是否有这样的人 $0 < x^\circ < 360$和 $2\sin^2 x^\circ<\sin x^\circ？$

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我们有 $2 sin^2 x^ circ - sin x^ circ = sin x^ circ (2 sin x^ circ - 1) < 0$或 $0<\sinx^\circ<\frac12$．

如果我们只考虑第一象限，那么 $y=\sin x^\circ$是一个递增函数

$0 = sin0 ^ circ < sin1 ^ circ < sin2 ^ circ < cdots < sin29 ^ circ < sin30 ^ circ = frac12，$

也就是说有29个解。

用同样的方法，第二象限还有29个解。这就得到了 $29+29 =58$解决。 $_\方格$

如果我们知道 $\tan 63^\circ < 2 < \tan 64^\circ$和 $\tan 84^\circ < 9 < \tan 85^\circ$，有多少个整数 $x$是否有这样的人 $< x ^ 0 ^ \保监会\保监会< 90 ^ \保监会$和 $2 < tan x^\circ < 9?$

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因为 $Y = tanx$是一个递增函数，

$2<\tan 64^\circ<\tan 65^\circ<\tan 66^\circ<\cdots<\tan 84^\circ<9。$

这给了我们 $84-64 + 1 = 21$矩阵的整数解 $x$． $_\方格$

有某些类型的直角三角形，知道它们的边长比很有用。这些也可以在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的特定值" target="_blank">三角函数的特定值．

在等腰直角三角形中，角度为 $45 ^ \保监会$， $45 ^ \保监会$, $90 ^ \保监会$．对于这样一个三角形，三角形的两条短边长度相等，斜边是 $\ sqrt {2}$乘以较短边的长度:

我们也可以从定义中看出这种关系 $\sin\theta$和 $\cos\theta$用的具体值 $\θ=45^\circ$：

$45 ^ \ \开始{对齐}\罪保监会& = \罪\压裂{\π}{4}= \压裂{1}{\ sqrt{2}} = \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}\ \ \因为45 ^ \保监会& = \因为\压裂{\π}{4}= \压裂{1}{\ sqrt{2}} = \压裂{\文本{相邻}}{斜边}}{\文本。结束\{对齐}$

在这个直角三角形中，角是 $30 ^ \保监会,60 ^ \保监会$, $90 ^ \保监会$．

如果是对着 $30 ^ \保监会$角度有长度 $一个$，然后是对面的一边 $60^\circ$角度有长度 $a\sqrt{3}$斜边有长度 $2$.我们也可以从 $\sin\theta$和 $\cos\theta$用的具体值 $\θ=60^\circ$：

$\begin{aligned}\sin 60^\circ&=\sin\left（\frac{\pi}{3}\right）=\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\text{antime}}{\text{斜边}\\\cos 60^\circ&=\cos\left（\frac{\pi}{3}\right）=\frac{1}{2}{\frac{\text{antime}{$

考虑下面的直角三角形:

假设我们已知三角形的两条边长:例如，斜边 $c$和对边 $b$.然后我们找到

$罪\ \θ= \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}= \压裂{b} {c}。$

由此，我们可以确定 $\ \因为θ?$因为这个三角形是直角三角形，我们可以用勾股定理来求边长 $A.$从中我们可以发现

$\ cosθ= \ \压裂{\文本{相邻}}{\文本{斜边}}= \压裂{一}{c}。$

我们用一个例子来说明这一点:

在下面的直角三角形中，有两个边长 $a=3$和 $b=4$给出了。找到 $\sin\theta$和 $\ \因为θ。$

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自 $\ tan \θ= \压裂{\文本{相反}}{\文本{相邻}}= \压裂{b} {},$我们有 $\tan\theta=\frac{4}{3}。$此外，毕达哥拉斯定理暗示斜边 $c$直角三角形的 $C ^2 = a^2 + b^2 = 3^2 + 4^2 = 25$,或 $c = 5$．因此,

$罪\开始{对齐}\ \θ= \压裂{b} {c} = \压裂{4}{5}\ \ \因为\θ= \压裂{一}{c} = \压裂{3}{5}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

我们将在wiki中进一步研究直角三角形上的三角函数之间的关系<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-identities/" class="wiki_link" title="毕达哥拉斯恒等式" target="_blank">毕达哥拉斯恒等式．

现在，假设我们得到了直角三角形的一个锐角和三角形的一条边。我们能用三角函数来求三角形其他边的值吗？

考虑下面的直角三角形:

中频角 $\θ$= $\压裂{\π}{3}$和边长度 $一个$是 $5$，求边长 $b$．

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我们有

$开始\{对齐}\谭谭\θ= \ \离开(\压裂{\π}{3}\右)= \压裂{b}{一}& = \压裂{b} {5} \ \ \ sqrt{3} & = \压裂{b} {5} \ \ b = 5 \ sqrt{3}。\ \ _ \广场结束{对齐}$