孤立奇点与剩余定理

首先，我要为我将在这个维基上使用的名字道歉，因为它们中的许多在书中可能有不同的名字。我们将假设<年代pan class="katex"> $C \ω\ subseteq \ mathbb {}$ $Ω \subseteq C$ 是开放集合，除非另有说明，和<年代pan class="katex"> $H f \ \ mathcal{} \大(ω\ \大)$ $f \in H （ Ω ）$ 意味着<年代pan class="katex"> $f$ $f$ 是一个<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="https://en.wikipedia.org/wiki/Holomorphic_function">全纯函数在<年代pan class="katex"> $\ω$ $Ω$ ．我们将要处理积分，级数，伯努利数，黎曼函数，以及许多有趣的问题，以及许多理论。很重要的一点是，复分析中所有的东西都是相互联系的，所以我们会用到复分析的很多知识以及数学的所有分支。

作品简介:圈数

相关的维基:轮廓整合

圈数的定义

如果<年代pan class="katex"> $\gamma: [0,1] \to \mathbb{C}$ $γ ：［ 0 ， 1 ］ \to C$ 闭合的分段平滑路径和<年代pan class="katex"> $不\ \ \伽马\大([0,1]\大)$ $一个 \neq \in γ （［ 0 ， 1 ］）$ ,<年代trong>圈数的<年代pan class="katex"> $\γ$ $γ$ 关于<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 是<年代pan class="katex-display"> ${印第安纳}\文本(\γ,)= \压裂{1}{2π\}\ cdot \ int_{0} ^{1} \压裂{\γ’(s)}{\γ(s) -} \, ds = \压裂{1}{2π\}\ oint_{\伽马}\压裂{1}{z -} \, dz。$ 直观地说,<年代pan class="katex"> $文本\{印第安纳}(\γ)$ $印第安纳州（ γ ，一个）$ 是多少次<年代pan class="katex"> $\γ$ $γ$ 周围循环<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 逆时针方向。

示例1

如果<年代pan class="katex"> $\gamma (x) = e^{2\ I x}$ $γ （ x ）＝ e^{2 π 我 x}$ 为<年代pan class="katex"> $X \in [0,1]，$ $x \in ［ 0 ， 1 ］，$ 它的圈数<年代pan class="katex"> $0$ $0$ 是<年代pan class="katex-display"> ${印第安纳}\文本(\γ0)= \压裂{1}{2π\}\ cdot \ int_{0} ^{1} \压裂{2 \π\ cdot e ^{2 \πx}} {e ^{2 \πx}} \, dx = 1。$

Non-Example

如果<年代pan class="katex"> $\gamma_1 (x) = e^{\ I x}$ $γ_{1} （ x ）＝ e^{π 我 x}$ 为<年代pan class="katex"> $X \in [0,1]，$ $x \in ［ 0 ， 1 ］，$

$\压裂{1}{2π\}\ cdot \ int_{0} ^{1} \压裂{\π\ cdot e ^ {x} \π}{e ^ {x} \π}\,dx = \压裂{1}{2}。$

然而，我们不能说<年代pan class="katex"> $\text{Ind}(\gamma_1, 0) = \frac{1}{2}$ $印第安纳州（ γ_{1} ， 0 ）＝ \frac{1}{2}$ 因为<年代pan class="katex"> $\ gamma_1$ $γ_{1}$ 不是<年代trong>关闭．

路径的圈数<年代pan class="katex"> $\γ$ $γ$ 关于<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ 的连通分量是常数吗<年代pan class="katex"> $C \ mathbb {} \ setminus \文本{形象}(\γ)$ $C ∖ 图像（ γ ）$ 包含(或不)<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ ．圈数是0，如果<年代pan class="katex"> $\γ$ $γ$ 不转<年代pan class="katex"> $一个,$ $一个，$ 它是常数<年代pan class="katex"> $\γ$ $γ$ 转身<年代pan class="katex"> $一个$ $一个$ ．(把圈数看作匝数…)

示例2(例1的推广)

如果<年代pan class="katex"> $C_r (t) = a + re^{it}$ $C_{r} （ t ）＝一个 + r e^{我 t}$ 为<年代pan class="katex"> $T \in [0,2 \pi]，$ $t \in ［ 0 ， 2 π ］，$ 然后<年代pan class="katex-display"> ${印第安纳}\文本(C_r, z) = \{病例}1开始,& \文本{如果}| z-a | < r \ \ 0, & \文本{如果}| z-a | > r \ \ \文字{定义},{如果}| & \文本z-a | = r \{病例}结束$

有关……