剩余因子定理GydF4y2Ba

这GydF4y2Ba剩余因子定理GydF4y2Ba实际上是两个定理，其与其线性因素相关的多项式的根源。定理通常用于帮助根据长分的使用来帮助分解多项式。特别是结合的时候GydF4y2Ba理性根定理GydF4y2Ba这给了我们一个强有力的工具因素多项式。GydF4y2Ba

剩余定理：GydF4y2Ba

对于多项式GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$，在剩余GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$一旦除以GydF4y2Ba $X-C.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $f（c）GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

因子定理：GydF4y2Ba

让GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$是一个这样的多项式GydF4y2Ba $f（c）= 0GydF4y2Ba$对于一些常数GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$。然后GydF4y2Ba $X-C.GydF4y2Ba$是一个因素GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$。相反，如果GydF4y2Ba $X-C.GydF4y2Ba$是一个因素GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$， 然后GydF4y2Ba $F（C）= 0GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

完全比化GydF4y2Ba $f（x）= 6x ^ 3 - 23x ^ 2 - 6x + 8GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

---

从理性根定理，我们尝试编号的表格GydF4y2Ba $\ frac {a} {b}GydF4y2Ba$， 在哪里GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$划分8和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$划分6.通过剩余的因子定理，我们只需要计算价值GydF4y2Ba $˚F\左（\压裂{A} {B} \右）= 0GydF4y2Ba$。通过试验和错误，我们获得GydF4y2Ba

$\开始{对齐} F（1）=＆6-23 - 6 + 8 = -15 \\ F（2）＆= 48 - 92 - 12 + 8 = -48 \\ F（4）＆= 384 - 368- 24 + 8 = 0 \\˚F\左（\压裂{1} {2} \右）= \压裂{3} {4} - 5 \压裂{3} {4} - 3 + 8 = 0 \\˚F\左（ - \压裂{1} {2} \右）= - \压裂{3} {4} - 5 \压裂{3} {4} + 3 + 8 = 4 \压裂{1} {2} \\ f \left(-\frac {2}{3} \right) & = - 1 \frac {7}{9} + 10 \frac {2}{9} + 4 + 8 = 0. \end{aligned}$

由此可见GydF4y2Ba $x-4，x-\ frac {1} {2}，GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $x + \ frac {2} {3}GydF4y2Ba$是因素的GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$，暗示GydF4y2Ba

$f（x）= a（x）（x-4）\ left（x-\ frac {1} {2}右）\ left（x + \ frac {2} {3}右）。GydF4y2Ba$

由于右手侧有3度，因此GydF4y2Ba $斧头）GydF4y2Ba$有0度，所以我们表示不变GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$。替代GydF4y2Ba $x = 0.GydF4y2Ba$， 我们获得GydF4y2Ba $A = 6.GydF4y2Ba$。所以，GydF4y2Ba

$f（x）= 6（x-4）\ left（x-\ frac {1} {2} \右）\ left（x + \ frac {2} {3} \右）=（x-4）（2x-1）（3x + 2）。\， _\正方形GydF4y2Ba$

$g（x）GydF4y2Ba$是一种多项式，留下了剩余的1GydF4y2Ba $X-1GydF4y2Ba$并且留下4的余数时除以GydF4y2Ba $X + 2GydF4y2Ba$。什么时候是什么时候GydF4y2Ba $g（x）GydF4y2Ba$除以GydF4y2Ba $（x-1）（x + 2）？GydF4y2Ba$

---

我们有GydF4y2Ba $g（x）=（x-1）（x + 2）q（x）+ r（x）GydF4y2Ba$。自从GydF4y2Ba $（x-1）（x + 2）GydF4y2Ba$有2学位，其余部分GydF4y2Ba $r（x）GydF4y2Ba$最多有1度，因此GydF4y2Ba $r（x）= ax + bGydF4y2Ba$对于一些常数GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$。通过剩余的因素定理，我们有GydF4y2Ba $G（1）= 1GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $g（-2）= 4GydF4y2Ba$。替代GydF4y2Ba $x = 1GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $-2GydF4y2Ba$， 我们获得GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} 1＆= g（1）=（1-1）（1 + 2）q（1）+ r（1）= a（1）+ b \\ 4＆= g（-2）=（-2-1）（ - 2 + 2）q（-2）+ r（-2）= a（-2）+ b。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

这意味着GydF4y2Ba $1 = A + B，4 = -2A + BGydF4y2Ba$，有解决方案GydF4y2Ba $a = -1，b = 2GydF4y2Ba$。因此，剩下的时间GydF4y2Ba $g（x）GydF4y2Ba$除以GydF4y2Ba $（x-1）（x + 2）GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $-x + 2GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

试图发现斐波纳契数的公式，亚历克斯找到了立方多项式GydF4y2Ba $h（x）GydF4y2Ba$这样GydF4y2Ba $h（1）= 1GydF4y2Ba$那GydF4y2Ba $H（2）= 1GydF4y2Ba$那GydF4y2Ba $h（3）= 2GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $H（4）= 3GydF4y2Ba$。什么是值GydF4y2Ba $h（5）？GydF4y2Ba$

---

考虑立方多项式GydF4y2Ba $j（x）= h（x） - x +1GydF4y2Ba$。然后GydF4y2Ba $Ĵ（1）= 1，J（2）= 0，J（3）= 0GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $j（4）= 0。GydF4y2Ba$通过剩余的因素定理，我们有GydF4y2Ba

$j（x）= a（x）（x-2）（x-3）（x-4），GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $斧头）GydF4y2Ba$是多项式。自从GydF4y2Ba $J（x）GydF4y2Ba$是一个立方体，所以GydF4y2Ba $斧头）GydF4y2Ba$有0度，因此我们表示的常数GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$。替代GydF4y2Ba $x = 1GydF4y2Ba$， 我们获得GydF4y2Ba

$1 = j（1）= a（1-2）（1-3）（1-4）\意味着a = - \ frac {1} {6}。GydF4y2Ba$

因此，GydF4y2Ba $h（x）= j（x）+ x-1 = - \ frac {1} {6}（x-2）（x-3）（x-4）+ x-1。GydF4y2Ba$因此，GydF4y2Ba

$H（5）= - \ FRAC {1} {6}（5-2）（5-3）（5-4）+ 5 - 1 = 3. \ _ \ SquareGydF4y2Ba$

笔记：GydF4y2Ba斐波纳契序列的封闭形式是指数函数。这不能使用多项式函数来近似为大值GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

认为GydF4y2Ba $K（x）GydF4y2Ba$是具有整数系数和一个多项式GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是一个整数的根GydF4y2Ba $K（x）GydF4y2Ba$。显示GydF4y2Ba $\ frac {k（x）} {x-c}GydF4y2Ba$也是具有整数系数的多项式。GydF4y2Ba

---

乍一看，似乎无法直接从因素定理的结果工作GydF4y2Ba $k（c）= 0GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

让度GydF4y2Ba $K（x）GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $NGydF4y2Ba$， 然后让GydF4y2Ba

$k（x）= k_n x ^ n + k_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + k_1 x + k_0，GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $K_I.GydF4y2Ba$是整数。然后由剩余的因子定理，GydF4y2Ba

$0 = k（c）= k_n c ^ n + k_ {n-1} c ^ {n-1} + \ cdots + k_1 c + k_0。GydF4y2Ba$

使用这个事实GydF4y2Ba $X^i - c^i=(x-c)\big(x^{i-1} + x^{i-2}c + \ldots + xc^{i-2} + c^{i-1}\big),$我们获得GydF4y2Ba

$\begin{aligned} k(x) & = k(x)- 0 = k(x)-k(c) \\ &= k_n (x^n-c^n) + k_{n-1} \big( x^{n-1} - c^{n-1}\big) + \cdots + k_1 (x-c) + k_0 (1-1) \\ & = (x-c) Q(x). \end{aligned}$

自从GydF4y2Ba $q（x）GydF4y2Ba$是具有整数系数的多项式的整数组合，它遵循GydF4y2Ba $\ frac {k（x）} {x-c} = q（x）GydF4y2Ba$也是具有整数系数的多项式。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

余：GydF4y2Ba

---

分裂GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$经过GydF4y2Ba $X-C.GydF4y2Ba$， 我们获得GydF4y2Ba

$f（x）=（x-c）q（x）+ r（x），GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $r（x）GydF4y2Ba$是剩下的。自从GydF4y2Ba $X-C.GydF4y2Ba$有1学位，它遵循剩下的GydF4y2Ba $r（x）GydF4y2Ba$有0度，因此是一个常数。让GydF4y2Ba $R（X）= RGydF4y2Ba$。然后替代GydF4y2Ba $x = C.GydF4y2Ba$， 我们获得GydF4y2Ba $F（c）=（C-C）Q（c）+ r = rGydF4y2Ba$。因此，其余的是GydF4y2Ba $f（c）GydF4y2Ba$如此，如此。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

因素：GydF4y2Ba

---

（前进方向）上GydF4y2Ba
自从GydF4y2Ba $F（C）= 0GydF4y2Ba$，通过剩下的定理，我们有GydF4y2Ba $F（X）=（X-C）H（X）+ R =（X-C）H（X）GydF4y2Ba$。因此，GydF4y2Ba $X-C.GydF4y2Ba$是一个因素GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

（向后方向）GydF4y2Ba
如果GydF4y2Ba $X-C.GydF4y2Ba$是一个因素GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$，然后（根据定义）其余部分GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$一旦除以GydF4y2Ba $X-C.GydF4y2Ba$将是0.通过剩下的定理，这相当于GydF4y2Ba $f（c）GydF4y2Ba$。因此，GydF4y2Ba $F（C）= 0GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

笔记：GydF4y2Ba对常数没有限制GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$。它可能是一个实数，复杂的数字，甚至是矩阵！GydF4y2Ba