相关变化率
有关……
- 微积分年代p一个n><年代p一个nclass="chevron">>年代p一个n>
相关的利率一个>
仔细观看动画。水以恒定的速度被加到圆锥杯中。你注意到水位上升的速度了吗?如果你说它正在减速,那么你是对的!当水位到达顶部时,锥形杯似乎灌得更慢。我们知道,每秒钟向杯子中加入相同体积的水,但这体积的水在更高的高度上分散在更大的截面积上,所以水位上升的速度减慢了。
本维基将专注于用导数的语言来测量这些现象。它将帮助我们发现未知的变化率,因为它们与其他已知的变化率有关。我们首先学习基础知识;然后看大量使用2D/3D几何的例子,以及在物理和化学上的一些应用。
内容
如何解决相关利率问题
第一步:用问题中提到的变量建立一个方程。年代trong>
我们需要一个方程,它(自然地)将问题陈述中给出的量联系起来,特别是一个涉及到我们希望揭示其变化率的变量的方程。这些方程中的许多都有几何学的基础:
<年代p一个nclass="katex-display"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">b年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">c年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n>年代p一个n>y年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">V年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>
有些有物理和化学的基础:
<年代p一个nclass="katex-display"> K年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.05764em;">E年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>米年代p一个n><年代p一个nclass="mord">v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">U年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.07153em;">C年代p一个n>年代p一个n>问年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">P年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">n年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.00773em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.13889em;">T年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
第二步:用适当的方法对方程两边求导。年代trong>
通常我们会对方程两边分别求导<年代p一个nclass="katex"> t年代p一个n>年代p一个n>,或时间。注意<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chain-rule/" class="wiki_link" title="链" target="_blank">链一个>,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/product-rule/" class="wiki_link" title="产品" target="_blank">产品一个>,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/differentiation-quotient-rule/" class="wiki_link" title="商" target="_blank">商一个>,<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/implicit-differentiation/" class="wiki_link" title="隐函数微分" target="_blank">隐函数微分一个>规则。
注意:已知在给定场景中保持不变的量可以提前代入。例如,建筑物的高度<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>不会改变,那么代入已知值是否安全<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>在求导之前。
<年代trong>第三步:将给定值代入新微分方程。年代trong>
这一步完成后,剩下的变量就是我们要求的未知速率,通过代数运算就能得到答案。注意,不是所有的变量都将显式地提供给您!你可能需要在初始的无微分方程中找到它们来收集剩下的未知量来代入并完成这个问题。
使用2D几何的相关速率
是时候开始解例子了!在本节中,我们将主要看一些涉及二维几何的例子。例如,我们将看到改变圆的半径如何影响它的面积,或者改变直角三角形的夹角如何改变边长比。我们将使用诸如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-theorem/" class="wiki_link" title="勾股定理" target="_blank">勾股定理一个>而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="基本的三角函数" target="_blank">基本的三角函数一个>因此,在继续学习之前,一定要充分理解这些概念。
航天飞机的发射可能是非常令人兴奋的,但摄制组需要准确地知道将他们的设备移动到哪里,才能准确地跟踪移动的火箭。在下面的动画中,我们看到当航天飞机冲向太空时,我们的视野慢慢地向上倾斜。但摄像机旋转的速度到底有多快?
<年代p一个nclass="image-caption center">
假设一个跟踪摄像机放置在距离发射台5公里的地方,航天飞机以每秒500米的恒定速度垂直上升。当火箭距离发射台2公里时,摄像机应该旋转多快才能聚焦在火箭上?
而<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-theorem/" class="wiki_link" title="勾股定理" target="_blank">勾股定理一个>可以用来关联在这个场景中描述的直角三角形的边,我们发现它在这里没有用,因为公式不包含任何角度测量。相反,我们将使用三角比来得出我们希望求变化率的角与我们已知变化率的边之间的关系:
<年代p一个nclass="katex-display"> 棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mop">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>证券交易委员会年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>θ年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n>年代p一个n>y年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n>年代p一个n>y年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">代入年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">因为它是常数年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>5年代p一个n>年代p一个n>y年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
虽然我们没有得到明确的答复<年代p一个nclass="katex"> θ年代p一个n>年代p一个n>,我们知道<年代p一个nclass="katex"> 证券交易委员会年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n>年代p一个n>可以通过使用这个场景中所描述的直角三角形的边来找到,这就是为什么图表可以非常有用:
<年代p一个nclass="katex-display"> 2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">5年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">9年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">5年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">⟹年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">9年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">5年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">8年代p一个n><年代p一个nclass="mord">6年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">(弧度每秒)年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
向南行驶的汽车<年代p一个nclass="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里/小时年代p一个n>年代p一个n>是否接近一个固定点<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>和另一辆向西行驶的汽车<年代p一个nclass="katex"> 4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里/小时年代p一个n>年代p一个n>正在远离<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>.两辆车之间的距离如何变化,用表示<年代p一个nclass="katex"> 公里/小时年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>当汽车向南行驶时<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里年代p一个n>年代p一个n>从<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>向西行驶的那辆车<年代p一个nclass="katex"> 5年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里年代p一个n>年代p一个n>从<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">?年代p一个n>年代p一个n>
让两辆车之间的距离相等<年代p一个nclass="katex"> z年代p一个n>年代p一个n>,那么我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> z年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
在哪里<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>是距离<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>那辆向西行驶的车<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n>年代p一个n>是距离<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>还有向南行驶的汽车。对两边求导<年代p一个nclass="katex"> t年代p一个n>年代p一个n>,我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>z年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">x年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
因为我们已知
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">x年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里/小时年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里/小时年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>z年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> =年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n>年代p一个n>5年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>⟹年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.04398em;">z年代p一个n>年代p一个n>≈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公里/小时年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
当船舶进入泊位非常狭窄的码头时,需要将船舶拖进码头,以防止对码头和船舶都造成损害。一根金属缆绳连接在船的前部,通过一个滑轮,滑轮铰接在码头的边缘,并连接到一个自动绞车。
如果自动绞车以恒定的速度缠绕缆绳,下列哪项描述了船被拉进(到达码头之前)的速度?
在三角形<年代p一个nclass="katex"> 美国广播公司年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n> AB年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> 公元前年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">CA年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord overline">AB年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>让<年代p一个nclass="katex"> ∠年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">B年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>假设角度的变化率<年代p一个nclass="katex"> θ年代p一个n>年代p一个n>相对于时间是<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">rad /秒年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
然后,如果<年代p一个nclass="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>三角形的面积,它的变化率是多少<年代p一个nclass="katex"> 年代年代p一个n>年代p一个n>关于时间当<年代p一个nclass="katex"> ∠年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">一个年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n>年代p一个n>?年代p一个n>年代p一个n>
使用3D几何的相关率
让我们继续使用3D几何的例子。现在我们可以分析各种不同的3D形状,如圆锥、球体、圆柱体……在本节结束时,您将能够清楚地看到一个变量的变化率(例如,一个圆锥的半径)与另一个变量(如圆锥的体积)的变化率是如何相关的。
通过看动画,你可能已经对气球的半径什么时候增长最快有了直觉。注意,气球一开始似乎膨胀得很快,但随着更多的气体被泵入气球,它的膨胀速度就会减慢。让我们用相关的利率来验证这一点!
一个球形气球正以每秒100立方厘米的恒定速度充气。
当气球的半径是2厘米时它的半径会比半径是20厘米时变化的更快吗?
因为这个问题同时涉及到球形气球的体积和半径,所以从这个方程开始似乎是很自然的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/volume-sphere/" class="wiki_link" title="球体的体积" target="_blank">球体的体积一个>,它将这两个量联系起来:
<年代p一个nclass="katex-display"> V年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
方程两边对时间求导。通过<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chain-rule/" class="wiki_link" title="链式法则" target="_blank">链式法则一个>,我们会有
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>4年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">3.年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n><年代p一个nclass="mord">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
记住这些量<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>分别表示球体体积和半径的变化率。所以我们想要得到<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>因为这个量告诉我们气球半径的变化速度。代入已知的体积变化率和给定的半径,我们就能确定<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
如果<年代p一个nclass="katex"> r年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>然后
<年代p一个nclass="katex-display"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>⟹年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">6年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n>年代p一个n>≈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#3D99F6;">.年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#3D99F6;">9年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#3D99F6;">8年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#3D99F6;">9年代p一个n>年代p一个n>(厘米每秒)年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
如果<年代p一个nclass="katex"> r年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n>年代p一个n>然后
<年代p一个nclass="katex-display"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>⟹年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">6年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n>年代p一个n>≈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#D61F06;">.年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#D61F06;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#D61F06;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#D61F06;">9年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#D61F06;">8年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#D61F06;">9年代p一个n>年代p一个n>(厘米每秒)年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
果不其然,气球越大,半径增加的速度就越慢。这是因为气体有更大的体积可以扩散,导致气球的半径略有增加。<年代p一个nclass="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
当两个变化变量相乘时,它们的变化率的综合效应可能比它们分开时更大。例如,我们知道一个圆锥的体积取决于它的半径的乘积<年代p一个nclass="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>和高度<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>所以我们应该期望它的体积变化是由它的半径和高度的变化贡献的!这就是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/product-rule/" class="wiki_link" title="乘法法则" target="_blank">乘法法则一个>将会发挥作用。
圆锥体积的方程由<年代p一个nclass="katex"> V年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
一)年代p一个n>年代p一个n>是如何<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>有关<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>如果<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>是常数?
<年代p一个nclass="katex"> b)年代p一个n>年代p一个n>是如何<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>有关<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">h年代p一个n>年代p一个n>如果<年代p一个nclass="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>是常数?
<年代p一个nclass="katex"> c)年代p一个n>年代p一个n>是如何<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>有关<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">h年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">r年代p一个n>年代p一个n>如果既不<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>也不<年代p一个nclass="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>是常数?
<年代p一个n class="katex"> 一)年代p一个n>年代p一个n>根据链式法则,我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="color:#3D99F6;">h年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;color:#3D99F6;">r年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#3D99F6;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="color:#3D99F6;">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;color:#3D99F6;">r年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
b)年代p一个n>年代p一个n>类似地,我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#D61F06;">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="color:#D61F06;">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="color:#D61F06;">h年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
c)年代p一个n>年代p一个n>这一次,我们做到了
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mclose delimcenter" style="top:0em;">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">乘法法则年代p一个n>年代p一个n> 3.年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="color:#3D99F6;">h年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;color:#3D99F6;">r年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#3D99F6;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="color:#3D99F6;">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;color:#3D99F6;">r年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">3.年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>π年代p一个n><年代p一个nclass="mord" style="color:#D61F06;">r年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="color:#D61F06;">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="color:#D61F06;">h年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
大力水手喜欢吃菠菜。他挤压一罐他最喜欢的菠菜,使它保持圆筒的形状,体积保持不变,但罐头的半径减小<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">厘米年代p一个n>年代p一个n>每秒。
当罐子的半径是的时候罐子的高度变化的有多快<年代p一个nclass="katex"> 4年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">厘米年代p一个n>年代p一个n>高度为<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">厘米年代p一个n>年代p一个n>?年代p一个n>年代p一个n>
物理与化学
在物理科学中使用相关速率是必要的,因为各种学科都需要对变化速率进行评估。从高速行驶的汽车和下落的物体到气体和放电的膨胀,相关的速率在科学领域是无处不在的。
如果一个<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">7年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">公斤年代p一个n>年代p一个n>汽车正以…的速度加速<年代p一个nclass="katex"> 6年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">米年代p一个n>年代p一个n>/年代p一个n><年代p一个nclass="mord">年代年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>,那么它有多快<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/calculating-kinetic-energy-of-an-object/" class="wiki_link" title="动能" target="_blank">动能一个>改变时的速度<年代p一个nclass="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">米年代p一个n>年代p一个n>/年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">年代年代p一个n>年代p一个n>?年代p一个n>年代p一个n>
回想一下动能的公式<年代p一个nclass="katex"> E年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">公斤ydF4y2Ba=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>米年代p一个n><年代p一个nclass="mord">v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>我们先对两边对时间求导,得到
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">E年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">公斤ydF4y2Ba)年代p一个n>年代p一个n>⇒年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">E年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">公斤ydF4y2Ba=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>米年代p一个n><年代p一个nclass="mord">v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">v年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">v年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">米年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">v年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">一个年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">7年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">6年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">6年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">J年代p一个n>年代p一个n>/年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">年代年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
两个<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n>年代p一个n>-<年代p一个nclass="katex"> Ω年代p一个n>年代p一个n>电阻一个>标签<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> B年代p一个n>年代p一个n>是并联的。<年代p一个nclass="katex"> 一个年代p一个n>年代p一个n>的阻力在增加<年代p一个nclass="katex"> 2年代p一个n><年代p一个nclass="mspace nobreak">Ω年代p一个n><年代p一个nclass="mord">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">最小值年代p一个n>年代p一个n>而<年代p一个nclass="katex"> B年代p一个n>年代p一个n>的电阻减小<年代p一个nclass="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个nclass="mspace nobreak">Ω年代p一个n><年代p一个nclass="mord">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">最小值年代p一个n>年代p一个n>.这个系统的有效电阻变化的速度是多少?
并联电阻器之间的关系式由
<年代p一个nclass="katex-display"> R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">e年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">B年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
因为我们需要<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">e年代p一个n>年代p一个n>沿着这条路走下去,我们会找到它的<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">e年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个nclass="mspace nobreak">Ω年代p一个n>年代p一个n>利用这个公式和事实<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">B年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mspace nobreak">Ω年代p一个n>年代p一个n>.然后,对时间求导得到
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">e年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">e年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">e年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">5年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">e年代p一个n>年代p一个n>⇒年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">e年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">B年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">一个年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">B年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">R年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">B年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord">5年代p一个n><年代p一个nclass="mspace nobreak">Ω年代p一个n><年代p一个nclass="mord">/年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">最小值年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
内燃机在点火前先用活塞压缩气缸内的可燃空气,以机械功的形式产生能量。假设这样一个圆柱体的体积是<年代p一个nclass="katex"> 6年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">厘米年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>在<年代p一个nclass="katex"> 1年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">自动取款机年代p一个n>年代p一个n>的压力。突然,活塞开始压缩空气-燃料混合物的体积,其速率为<年代p一个nclass="katex"> 8年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">厘米年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n>年代p一个n>/年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">年代年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>相应的缸内压力的变化率是多少?因为我们假设在这种情况下温度不变,用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/boyles-law/" class="wiki_link" title="波义耳氏定律" target="_blank">波义耳氏定律一个>,上面说<年代p一个nclass="katex"> P年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">公斤ydF4y2Ba,在那里<年代p一个nclass="katex"> 公斤ydF4y2Ba是一个常数。
对方程两边求导得到
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.13889em;">P年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>乘法法则年代p一个n>年代p一个n> P年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">V年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.13889em;">P年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">6年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">(年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.13889em;">P年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord">8年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>⇒年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.13889em;">P年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03148em;">公斤ydF4y2Ba)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">0年代p一个n>年代p一个n>≈年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">自动取款机年代p一个n>年代p一个n>/年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">年代年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
先进的例子
相关的利率可能会变得非常复杂,可能会从各种各样的学科中借用技术和公式,所以请查看这些高级示例,了解相关的利率有多复杂(和强大)。这些例子是先进的,因为要看出如何着手解决这个问题并不容易。通常情况下,你可能需要引入一个中间变量,并使用其他高级的数学技术,如积分和极坐标,等等。
假设地面是<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n>年代p一个n>飞机。一名警察骑着摩托车沿着一条笔直的水平道路行驶<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n>年代p一个n>匀速<年代p一个nclass="katex"> v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>.碰巧有一个半径为圆形的柱子<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n>年代p一个n>以原点为中心。一个强盗正站在围墙上。他沿着圆周移动,这样他和警察之间的线就总是穿过原点。
速度是多少<年代p一个nclass="katex"> v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">r年代p一个n>年代p一个n>当警察在现场时,强盗应该移动吗<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n><年代p一个nclass="mord">x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">一个年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">?年代p一个n>年代p一个n>
假设<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;"><年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n>年代p一个n>.
在这个问题中,我们必须把强盗的速度和<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n>年代p一个n>-警察坐标。这两个变量之间的直接关系不是很清楚;所以引入一个直接相关的新变量是非常有用的<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>和<年代p一个nclass="katex"> v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">r年代p一个n>年代p一个n>.我们看到连接强盗和警察的线在旋转。它把强盗和警察联系起来了。所以这条线的一个特性,也就是它与<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n>年代p一个n>-axis-connects<年代p一个nclass="katex"> x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">r年代p一个n>年代p一个n>.
让我们做以下的构造:我们画一条从圆心到直线的垂线<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n>年代p一个n>.
<年代p一个nclass="image-caption center">
现在,让它与<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n>年代p一个n>-轴被称为<年代p一个nclass="katex"> θ年代p一个n>年代p一个n>.然后我们得到以下关系:<年代p一个nclass="katex"> v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">r年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>.从这个三角形中,我们可以看到<年代p一个nclass="katex"> 棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>.用隐微分法,我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> 证券交易委员会年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>θ年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
因此,使用<年代p一个nclass="katex"> 证券交易委员会年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> 从三角形中,我们有
<年代p一个nclass="katex-display"> 一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>⇒年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">r年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">一个年代p一个n>年代p一个n>v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">一个年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>一个年代p一个n><年代p一个nclass="mord">v年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">p年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
此示例使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/disc-method/" class="wiki_link" title="盘的方法" target="_blank">盘的方法一个>.
曲线<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">x年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n>是围绕<年代p一个nclass="katex"> y年代p一个n>年代p一个n>-轴形成容器。如果液体以每分钟2立方单位的速度流入容器,那么当液体深度为5单位时,液体的深度变化有多快?
让<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>就是杯子里液体的深度。然后是
<年代p一个nclass="katex-display"> V年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.22222em;">V年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">h年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">π年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">∫年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">1年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>y年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n>年代p一个n> )年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">y年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">π年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">1年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">h年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">h年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">自年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">4年代p一个n><年代p一个nclass="mord text">求总深度年代p一个n>年代p一个n>5年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">5年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.03588em;">π年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n><年代p一个nclass="mord">□年代p一个n>年代p一个n>
通过解决下面的例子来测试自己,然后点击“揭示解决方案”来检查你是否正确。如果你一开始没拿到也不用担心,他们
远处站着一个人<年代p一个nclass="katex"> 2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">d年代p一个n>年代p一个n>从一面镜子墙上。一个滑车连接在人与墙中间的滑轮上。那人以匀速拉动绳子<年代p一个nclass="katex"> v年代p一个n>年代p一个n>.这个人看到木块似乎以角速度移动<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>镜子里物体的图像随着速度移动<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>.
找到<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>.
<年代trong>注意:年代trong>你可以包括<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>在你的最终答案中,这个人的眼睛和物体之间的垂直距离。
让我们把注意力集中在这个问题中最重要的部分,并试着简化它。唯一重要的是人的眼睛、木块和镜子中木块的形象。所以让我们把注意力集中在这些事情上,而忽略其他的事情。<年代p一个n class="image-caption center">
记住,方块的图像总是与方块的高度相同。同时,图像的水平距离为<年代p一个nclass="katex"> 3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">d年代p一个n>年代p一个n>从男人的眼睛里。这些事实可以证明使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/ray-optics/?wiki_title=ray optics" class="wiki_link new" title="射线光学" target="_blank" rel="nofollow">射线光学一个>.现在我们都准备好解决这个问题了。
<年代p一个nclass="image-caption right">
回忆一下,物体相对于一点的角速度是角位置的变化率,即。<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>.角度位置<年代p一个nclass="katex"> θ年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> θ年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>关于眼睛可以通过画三角形找到。
这里我们可以看到<年代p一个nclass="katex"> 棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n>年代p一个n>.获得<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>,我们可以对方程两边对时间求导:
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n><年代p一个nclass="mop">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>证券交易委员会年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>θ年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">θ年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>(年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">h年代p一个n>年代p一个n>⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n>年代p一个n>1年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
现在我们知道了<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">θ年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>是<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">h年代p一个n>年代p一个n>只不过是<年代p一个nclass="katex"> v年代p一个n>年代p一个n>.我们还可以从这个三角形中看出<年代p一个nclass="katex"> 证券交易委员会年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">d年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> .年代p一个n>年代p一个n>让我们代入这些值:
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n>年代p一个n>v年代p一个n>年代p一个n>⟹年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">v年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
解决类似的问题<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>,我们得到<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">9年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">d年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">d年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03588em;">v年代p一个n>年代p一个n>.剩下的唯一步骤就是找到<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>.请注意<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>是的函数<年代p一个nclass="katex"> h年代p一个n>年代p一个n>.我们可以用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/parametric-equations-derivative-basic/" class="wiki_link" title="参数方程的导数" target="_blank">参数方程的导数一个>来计算<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>.
我们有<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">h年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">9年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">d年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">3.年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">d年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03588em;">v年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">h年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">h年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">d年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">d年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.03588em;">v年代p一个n><年代p一个nclass="mbin mtight">⋅年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">2年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">h年代p一个n>年代p一个n>,因此
<年代p一个nclass="katex-display"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">h年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">o年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">h年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mtight">ω年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">我年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord">h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">9年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>3.年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">(年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>2年代p一个n>年代p一个n>,年代p一个n>年代p一个n>
做完了!<年代p一个nclass="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
光线从圆形房间的点源发出。房间的中心在原点,有半径<年代p一个nclass="katex"> r年代p一个n>年代p一个n>.射线以角速度旋转<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n>年代p一个n>,是时间的函数<年代p一个nclass="katex"> t年代p一个n>年代p一个n>.在下列情况下,求出光线击中墙壁的点的速度:<年代p一个n class="katex"> 我)年代p一个n>年代p一个n>点源位于原点处;
<年代p一个nclass="katex"> (二)年代p一个n>年代p一个n>点源放置在一个一般点上<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">h年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">公斤ydF4y2Ba)年代p一个n>年代p一个n>在圆圈里面。
情况下<年代p一个nclass="katex"> 我)年代p一个n>年代p一个n>这个案子相对容易解决。答案很简单<年代p一个nclass="katex"> v年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ω年代p一个n><年代p一个nclass="mord">r年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>情况下<年代p一个nclass="katex"> (二)年代p一个n>年代p一个n>让我们试着简化这个问题。我们可以旋转坐标轴,使这个点<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">h年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">公斤ydF4y2Ba)年代p一个n>年代p一个n>在其中一个轴上。在新的坐标系中,点将是<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n>年代p一个n>h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> ,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mord">)年代p一个n>年代p一个n>.我们可以让<年代p一个nclass="katex"> d年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">h年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">y年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n> ,因此在新的坐标系中,光源将位于<年代p一个nclass="katex"> (年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">d年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">0年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>.
为了解决这个问题,我们可以利用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/polar-coordinates/" class="wiki_link" title="极坐标" target="_blank">极坐标一个>.这样计算就简单多了:
<年代p一个nclass="katex-display"> R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">罪年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">α年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.00773em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">因为年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
两边求导得到
<年代p一个nclass="katex-display"> R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">因为年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.0037em;">α年代p一个n>年代p一个n>证券交易委员会年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>α年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.00773em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">因为年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">+年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">(年代p一个n>年代p一个n>−年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.00773em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">罪年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>)年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
使用关系<年代p一个nclass="katex"> v年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="mord">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.02778em;">θ年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> ω年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight">t年代p一个n>年代p一个n>d年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault mtight" style="margin-right:0.0037em;">α年代p一个n>年代p一个n>,可以化简为
<年代p一个nclass="katex-display"> v年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">因为年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">ω年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">证券交易委员会年代p一个n><年代p一个nclass="msupsub">2年代p一个n>年代p一个n>α年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.00773em;">R年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">因为年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">d年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">v年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">棕褐色年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">α年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">罪年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mord">.年代p一个n>年代p一个n>
利用三角形的正弦定则,我们得到了<年代p一个nclass="katex"> θ年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> α年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">:年代p一个n>年代p一个n>
R年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">α年代p一个n>年代p一个n>=年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2777777777777778em;">d年代p一个n>年代p一个n>罪年代p一个n><年代p一个nclass="mopen">(年代p一个n><年代p一个nclass="mord mathdefault" style="margin-right:0.0037em;">α年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">−年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.2222222222222222em;">θ年代p一个n><年代p一个nclass="mclose">)年代p一个n>年代p一个n>.年代p一个n>年代p一个n>
这样我们就可以消除<年代p一个nclass="katex"> θ年代p一个n>年代p一个n>剩下的是一个方程<年代p一个nclass="katex"> R年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">v年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">ω年代p一个n><年代p一个nclass="mpunct">,年代p一个n><年代p一个nclass="mspace" style="margin-right:0.16666666666666666em;">d年代p一个n>年代p一个n>而且<年代p一个nclass="katex"> α年代p一个n>年代p一个n>.<年代p一个nclass="katex"> □年代p一个n>年代p一个n>
微分方程与相关变化率“,
相关文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/differential-equations-formulate-a-statement/" class="wiki_link" title="微分方程-表述的表述" target="_blank">微分方程-表述的表述一个>.
现有的用户?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/related-rates-of-change/" id="problem-login-link-alternative" class="btn-link ax-click" data-ax-id="clicked_login_from_problem_modal" data-ax-type="button" data-is_modal="true" data-next="/wiki/related-rates-of-change/">登录一个>
问题加载…