常规的多边形

等边和等角的正多边形多边形是由点和线段连接在一起闭合并形成单一形状和的二维几何物体正多边形人人平等角边长相等。

不规则的多边形被认为是不规则的多边形有不相等的边，或角度，或两者都有。第三组多边形被称为复杂的多边形．不规则的多边形

具有凸角的规则多边形具有与它们的角度、面积、周长等相关的特定属性，这些属性对于关键概念是有价值的代数而且几何．

任何 $n$正方多边形可分为正方多边形 $(2)$三角形，如下图所示。

多边形中的三角形

因为三角形所有内角的和是 $180 ^ \保监会$， an的所有内角之和 $n$一个正负边多边形等于它的所有内角之和 $(2)$三角形，也就是 $(n - 2) 180 ^ \保监会。$这就引出了两个重要的定理。

在正多边形中，其内角的度数之和为 $(2) 180 ^{\保监会}。$由此可知，一个角的度数为

${\压裂{(n - 2) 180} {n}} ^ \保监会。$

正多边形的外角长度之和为 $360 ^ \保监会$．由此可知，一个外角的度数为

${\压裂{360}{n}} ^ \保监会。$

这些定理有助于将正多边形的边数与其角度的信息联系起来。

一个十二边形的内角和是多少?

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十二边形是有12条边的多边形。它的内角和是

$180 \ * (12 - 2)^\circ =180 \ * 10^\circ =1800^\circ。\ _ \广场$

多边形的内角和为 $1260 ^ \保监会$．它有多少面?

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让多边形拥有 $n$两侧。然后, $1260^\circ = 180 \乘以(n-2)^\circ$，这让我们

$7 = n-2 \右tarrow n = 9。\ _ \广场$

一个正多边形的面积可以用不同的方法求出来，这取决于给定的变量。通常，边长是已知的 $年代$，诗人 $一个$(从中心到边的距离，也是切线的半径内接圆，常以 $r$)，或半径 $R$(从中心到顶点的距离——它也是物体的半径外接圆）.

正多边形的面积( $n$百分度)

$n a^2 \tan \left(\frac{180^\circ}{n} \right) = \frac{ns^2}{4} \cot \left(\frac{180^\circ}{n} \right) = \frac{nR^2}{2} \sin \left(\frac{360^\circ}{n} \right) = \frac{n a}{2}。\ _ \广场$

下面的证明是使用变量来计算等腰三角形的面积，然后乘以 $n$三角形。下面是上述正多边形面积公式的证明或推导。

下图显示了其中的一个 $n$构成正多边形的等腰三角形。

边长标注出来了 $年代$，表示半径 $R$，标记半圆心角 $\θ$．顶点是从正多边形的中心到边的中点的距离，这条边以直角相遇并标记 $一个$．

自 $\θ$是整个角的一半等于多少 $\压裂{360 ^ \保监会}{n}$,在那里 $n$是边的数量吗 $\θ= \压裂{180 ^ \保监会}{n}。$因此，我们得到 $\压裂{年代}{2}= \ tan \压裂{180 ^ \保监会}{n}{和}~ ~ \文本\压裂{一}{R} = \因为\压裂{180 ^ \保监会}{n}。$ $_ \广场$

了解一些常见的正多边形的公式是很有用的，尤其是三角形、正方形和六边形。

正多边形的面积

1. 等边三角形 $= \压裂{\ sqrt {3}} {4} s ^ 2$
2. 广场 $一个= s ^ 2$
3. 常规的五角大楼 $= \压裂{1}{4}\√6{5 \左5 + 2 \√{5}\右)}~ s ^ 2$
4. 常规的六边形 $= \压裂{3 \ sqrt {3}} {2} s ^ 2$
5. 普通八角 $左(1 + 2 = \ \ sqrt{2} \右)s ^ 2$

下面的例子是基于上述公式的应用:

边长为正六边形的面积是多少 $5 \text{cm}$?

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用面积公式给出边长 $n = 6$，我们有

$\{对齐}开始现代{p} & = \压裂{5 (6 ^ {2})}{4}\ cdot \床\压裂{180 ^ \保监会}{6}\ \ & = 45 \ cdot \床30 ^ \保监会\ \ & \大约77.9 \ \大文本(\{厘米}^{2}\大)。\ _\方形\端{对齐}$

正六边形的顶点长度为6。求六边形的面积。

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让 $C$是正六边形的中心，并且 $AB$它的一面。画 $钙、CB、$还有apothem $CD$ $（$你们要记住，垂直于哪个 $AB$点 $D)。$然后,自 $CA \cong CB$， $三角形ABC \$是等腰的，特别是对于正六边形， $三角形ABC \$是等边三角形。

的长度 $CD$ $（$在这种情况下，哪个高度也是等边的 $\三角形ABC)$是 $\压裂{\ sqrt {3}} {2}$乘以一条边的长度 $（$在这里 $AB)。$因此, $CD = \压裂{\ sqrt {3}} {2} {AB} \意味着AB = \压裂{2}{\ sqrt {3}} {CD} = \压裂{2 \√{3}}{3}(6)= 4 \ sqrt{3}。$现在我们已经求出了一条边的长度，接着求面积。至少有3种方法:

第一种方法:使用周长-标尺公式．
由此可知，这个六边形的周长为 $大(4 P = 6 s = 6 \ \ sqrt{3} \大)= 24 \ sqrt {3}$．因此, $= \压裂{1}{2}美联社= \压裂{1}{2}CD \ cdot P = \压裂{1}{2}(6)\大(24 \ sqrt{3} \大)= 72 \ sqrt{3}。\ _ \广场$

第二种方法:用正六边形的面积公式．
因此六边形的面积为 $= \压裂{3 s ^ 2} {2} \ sqrt{3} = \压裂{3 \大(4 \ sqrt{3} \大)^ 2}{2}\ sqrt {3} = 72 \ sqrt {3}$像以前一样。 $_ \广场$

第三种方法:使用正多边形的一般面积公式．
在这里，我们只说明这等价于使用正六边形的面积公式。采取 $n = 6$，我们得到 $= \压裂{ns ^ 2}{4} \床\压裂{180 ^ \保监会}{n} = \压裂{6 s ^ 2}{4} \床\压裂{180 ^ \保监会}{6}= \压裂{3 s ^ 2}{2} \床30 ^ \保监会= \压裂{3 s ^ 2} {2} \ sqrt {3} = 72 \ sqrt{3}。\ _ \广场$

一个正多边形的面积可以通过许多方法来确定，这取决于给定的内容。下面将讨论这些公式，但关键是要理解这些公式是如何相互关联的，以及如何推导它们。

区域当apothem $一个$给出:

三角形的面积是顶点的一半乘以边长，也就是 $现代{t} = \压裂{1}{2}2 \ tan \压裂{180 ^ \保监会}{n} \ cdot =一个^ {2}\ tan \压裂{180 ^ \保监会}{n}。$因为一个 $n$多角形是由 $n$等腰三角形相等，总面积为 $a _{p}=n a^{2} \tan \frac{180^\circ}{n}。$

面积当边长 $年代$给出:

由三角公式，我们得到 $A = \frac{s}{2 \tan \theta}$．
把这个代入面积，得到 $现代{p} = n \离开(\压裂{年代}{2θ\ tan \} \右)^ 2 \ tan \压裂{180 ^ \保监会}{n} = \压裂{ns ^ {2}} {4} \ cdot \床\压裂{180 ^ \保监会}{n}。$

半径时的面积 $r$给出:

由三角公式，我们得到 $A = r \cos \frac{180^\circ} {n}$．把这个代入面积，得到 $\{对齐}开始现代{p} & = n \离开(r \因为\压裂{180 ^ \保监会}{n} \右)^ 2 \ tan \压裂{180 ^ \保监会}{n} \ \ & = n r ^ 2 \罪\压裂{180 ^ \保监会}{n} \因为\压裂{180 ^ \保监会}{n } \\ & = \ 压裂{nr ^ 2}{2} \罪\压裂{360 ^ \保监会}{n}。结束\{对齐}$

区域当apothem $一个$和边长 $年代$给出:

使用 $A \tan \frac{180^\circ}{n} = \frac{s}{2}$，我们得到 $现代{p} = n ^ {2} \ tan \压裂{180 ^ \保监会}{n} = \压裂{n s}{2}。$这很明显，因为等腰三角形的面积是 $\frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{as}{2}$．

找到周长给定多边形的边长和边数，可以直接从周长的定义中得到:

一个正多边形的周长 $n$有边长的边 $年代$是 $P = ns。$

然而，人们可能会对确定一个正多边形的周长感兴趣，它是内线或圆周。

半径为1的圆内的正方形的周长是多少?

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首先，我们通过绘制正方形顶点的半径来将正方形分成小三角形:

然后,通过直角三角形的三角学，边长的一半为 $\sin\left(45^\circ\right) = \frac{1}{\√{2}}。$

因此，周长是 $2 \cdot 4\ cdot \frac{1}{\根号{2}}= 4\根号{2}。$ $_ \广场$

使用与上面例子相同的方法，这个结果可以推广到正多边形 $n$两侧。

一个正多边形的周长 $n$被刻在半径圆上的边 $r$是 $2 nr \罪\离开(\压裂{\π}{n} \右)。$

使用类似的方法，可以确定以半径为1的圆为界的正多边形的周长。

以半径为1的圆为界的正六边形的周长是多少?

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首先，我们通过画六边形中点的半径把六边形分成小三角形。它们会形成直角财产圆的切线段与半径成直角。

然后,通过直角三角形的三角学，边长的一半为 $\tan \left(30^\circ\right) = \frac{1}{\√{3}}。$

因此，周长是 $2 \cdot 6 \cdot \frac{1}{\根号{3}}= 4\根号{3}。$ $_ \广场$

再一次，这个结果直接推广到所有正多边形。

一个正多边形的周长 $n$被围成半径圆的边 $r$是 $2 nr \ tan \离开(\压裂{\π}{n} \右)。$

正多边形的对角线数为 $\ binom {n} {2} - n = \压裂{n (n)}{2}。$

哪个正多边形的对角线数和它的边数相等?

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让 $n$是边数。对角线的数目由 $\压裂{n (n)} {2}$．但是因为边的数量等于对角线的数量，我们有 $n = \压裂{n (n)} {2},$这就变成了 $1 = \压裂{n} {2}$自 $n$是零。然后 $2 = n - 3$，因此 $n = 5$．因此，所需要的多边形是a常规的五角大楼． $_ \广场$

试试下面这个问题:

• 正六边形的外角为 $\frac{360^\circ}6 = 60^\circ$．

• 正六边形的内角是 $180^\circ - (\text{外角})= 120^\circ$．

• 它由6个等边三角形组成 $R$,在那里 $R$是正六边形的圆周半径。

• 正六边形的面积是这6个等边三角形的面积之和: $6\ * \ fra12 R^2 \cdot \ sin60 ^\circ = \frac{3\sqrt3}2 R^2。$

下面是一些与正六边形有关的例子和问题。

有两个圆:一个是圆弧半径为1的正六边形内的圆，另一个是圆弧半径为1的正六边形外的圆。这两个圆(大圆与小圆)的面积之比是多少?

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让 $r$而且 $R$分别表示内切圆和内切圆的半径。让 $O$表示这两个圆的圆心。将高度从 $O$取1的边长表示 $r$满足方程 $R = \cos 30^\circ$而且 $R$就是六边形的圆周半径，那么 $R = 1$．求它们的面积比，我们有 $\压裂{\πR ^ 2}{\πR ^ 2} = \秒30 ^ ^ 2 \保监会= \ frac43 = 4: 3。\ _ \广场$

• 正多边形-分解成三角形
• 构造正多边形