反射GydF4y2Ba

随着光从镜子反射，我们反映了数学中的镜子的线条和图表。GydF4y2Ba反射GydF4y2Ba对数学有着兴趣，因为它们可以在不同的几何领域中使用，以证明许多结果。在微积分和分析中，存在使用偶数和奇数函数的反射，函数等的术语。GydF4y2Ba

这GydF4y2Ba反射GydF4y2Ba一个点，行或一个数字是沿着某一条线，平面等的镜像图像GydF4y2Ba

例如，在二维空间中，一条线反射到另一条线上就会产生第二条线。在下图中，这条线GydF4y2Ba $y = 3x.GydF4y2Ba$反射过线了吗GydF4y2Ba $Y = X.GydF4y2Ba$，形成直线GydF4y2Ba $y = \压裂{x}{3}。GydF4y2Ba$

在实际应用中，有时需要构建关于一条线的点，线条甚至多边形的反射。GydF4y2Ba

通过指南针做一个方法。下面给出了这种结构的细节。GydF4y2Ba

给定点的反思GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$关于给定线GydF4y2Ba $李:GydF4y2Ba$

• 选择任意两点GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$ $（GydF4y2Ba$说GydF4y2Ba $O_1.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $O_2）。GydF4y2Ba$
• 将两个圆圈绘制在GydF4y2Ba $O_1.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $O_2.GydF4y2Ba$这样每个圆通过共同点GydF4y2Ba $一种。GydF4y2Ba$
• 现在，调用两个圈子的另一个交叉点GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$
• 然后,GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$是反映的GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$关于GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

建筑的形象GydF4y2Ba

证明如下。GydF4y2Ba

如果我们表明该线路加入GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$垂直于GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$这些点与众不同GydF4y2Ba $lGydF4y2Ba$然后我们已经完成了！GydF4y2Ba

所以，让我们加入GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$．让GydF4y2Ba $abGydF4y2Ba$相交GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $O.GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

注意GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$两者都躺在圈子上有中心GydF4y2Ba $O_1.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $O_2.GydF4y2Ba$， 我们有GydF4y2Ba

$O_1A = O_1B \四O_2A = O_2B。GydF4y2Ba$

作为GydF4y2Ba $O_1O_2 = O_1O_2，GydF4y2Ba$我们可以看到,GydF4y2Ba

$\ delta o_1o_2a \ cong \ delta o_1o_2b。GydF4y2Ba$

因此GydF4y2Ba $\角度o_1o_2a = \角度o_1o_2bGydF4y2Ba$．另外,随着GydF4y2Ba $O_2A = O_2B.GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $OO_2 = OO_2,GydF4y2Ba$我们有GydF4y2Ba

$\ begin {senugented} \ delta oo_2a＆\ cong \ delta oo_2b \\ \ lightarrow oa＆= ob \\ \ lightarrow \'角度aoo_2＆= \'角度boo_2。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

作为GydF4y2Ba $\角度aoo_2GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $角度嘘_2.GydF4y2Ba$是直线上的角，GydF4y2Ba $\角度aoo_2 + \角度孔_2 = 180 ^ \ cir。GydF4y2Ba$

因此，我们得出结论GydF4y2Ba $\角度aoo_2 = \角度孔_2 = 90 ^ \ cirGydF4y2Ba$．这意味着距离GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$从GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $办公自动化GydF4y2Ba$．同样的距离GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$从GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $OBGydF4y2Ba$．作为GydF4y2Ba $OA = OBGydF4y2Ba$,两个GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$与直线的距离相等吗GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

所以，我们已经完成了！GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

一些杂项结构如下:GydF4y2Ba

• 反射直线GydF4y2Ba $（GydF4y2Ba$说GydF4y2Ba $L'）GydF4y2Ba$关于另一条线GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$，选择直线上任意两点，绕直线反射GydF4y2Ba $L.GydF4y2Ba$．加入思考以获得反射线。GydF4y2Ba
• 为了反映关于一条线的线段，反映线段的端点并连接它们。GydF4y2Ba
• 要反映大约一条线的多边形，反映线段。GydF4y2Ba

在思考关于GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$-轴表示它的大小GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$- 科学仍然是相同的，但它的标志变化。但是GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$-坐标保持不变。这是因为我们把它放到它下面的象限。所以，我们可以这么说GydF4y2Ba ${\文本{R}} _ {x} (x, y) = (x - y)GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

这一点的反映会是什么GydF4y2Ba $（3，-5）GydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$-轴？GydF4y2Ba

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我们有GydF4y2Ba

$\开始{对齐}{{R}} \文本值(x, y) & = (x - y) \ \ {R}}{\文本值(3、5)& = \大(3,-(5)\大)\ \ & =(3、5)。\ _ \ square \结束{对齐}GydF4y2Ba$

在思考关于GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$-轴表示它的大小GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$- 科学仍然是相同的，但它的标志变化。但是GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$-坐标保持不变。这是因为我们正在将它带到它旁边的象限。所以，我们可以这么说GydF4y2Ba ${\ text {r}} _ {y}（x，y）=（-x，y）GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

这一点的反映会是什么GydF4y2Ba $（2,4）GydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$-轴？GydF4y2Ba

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我们有GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} {\ text {r}} _y（x，y）＆=（-x，y）\\ {\ text {r}} _ y（2,4）＆=（-2,4）。\ _ \ square \结束{对齐}GydF4y2Ba$

当反射原点上的一个点时，其坐标的大小保持不变，但其符号改变。这是因为我们把它放到对角线上的象限。所以，我们可以说GydF4y2Ba ${\ text {r}} _ o（x，y）=（-x，-y）GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

这一点的反映会是什么GydF4y2Ba $（-13,6）GydF4y2Ba$在原点吗?GydF4y2Ba

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我们有GydF4y2Ba

$文本\开始{对齐}{\ {R}} _o (x, y) & = (- x - y) \ \{\文本{R}} _o(-13 6) & = \大(-(-13),6 \大)\ \ & =(13日6)。\ _ \ square \结束{对齐}GydF4y2Ba$

在二维空间中，也可以反射到形式的任何直线上GydF4y2Ba $y = mxGydF4y2Ba$ $（GydF4y2Ba$注意特殊情况GydF4y2Ba $x = 0.GydF4y2Ba$与反映相同GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$设在GydF4y2Ba $），GydF4y2Ba$一旦完成，我们可以很容易地扩展到GydF4y2Ba $MX + B.GydF4y2Ba$通过转移GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$坐标的GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$．可以获得反射点的通式GydF4y2Ba $（x'，y'）：GydF4y2Ba$

$（X',y') = \left(2\dfrac{x+(y-b)m}{1+m^2}-x,\ 2\dfrac{x+(y-b)m}{1+m^2}x-y+2b\right).$

可以使用载体获得上述表达。再次，让我们GydF4y2Ba $y = mxGydF4y2Ba$或GydF4y2Ba $\ lambda \ langle 1，m \ rangleGydF4y2Ba$， 然后让GydF4y2Ba $\ mathbf {p} = \ langle x, y \捕杀GydF4y2Ba$．如果投影GydF4y2Ba $\ mathbf {p}GydF4y2Ba$在直线上是向量GydF4y2Ba $\ mathbf {l}GydF4y2Ba$，我们很容易找到GydF4y2Ba $\ mathbf {p'} = 2 \ mathbf {l} - \ mathbf {p}GydF4y2Ba$．幸运的是，有一个简单的公式来投射向量上的另一个矢量，这给了GydF4y2Ba $（GydF4y2Ba$在这里，我们可以通过选择将该行视为矢量GydF4y2Ba $\ lambda> xGydF4y2Ba$并抓住这一点GydF4y2Ba $r \ mathbf {})GydF4y2Ba$

$\ displaystyle \ mathbf {l} = \ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r} {\ left | \ mathbf {r} \ light | ^ 2} \ mathbf {r}。GydF4y2Ba$

这就给你留下了一种计算方法GydF4y2Ba $（x'，y'）= \ mathbf {p'} = 2 \ frac {\ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {r}} {\ left | \ mathbf {r} \ light | ^ 2} \ mathbf {r} - \ mathbf {p}GydF4y2Ba$没有任何触发功能（如果您使用GydF4y2Ba旋转矩阵GydF4y2Ba）。GydF4y2Ba

具体来说，你可以将上面的内容简化为GydF4y2Ba $（x'，y'）= \左（2 \ frac {x + ym} {1 + m ^ 2} -x，\ 2 \ frac {x + ym} {1 + m ^ 2} x-y \右）GydF4y2Ba$，这是一个很好的公式，可以在许多情况下应用。如果我们想要GydF4y2Ba $MX + B.GydF4y2Ba$，我们申请GydF4y2Ba $y \到y-bGydF4y2Ba$并添加GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $y'GydF4y2Ba$ $（GydF4y2Ba$这些是在证明之前讨论的坐标转变：我们将一切均下来GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$，应用我们的公式，然后把所有东西往上移动GydF4y2Ba $b）GydF4y2Ba$要得到GydF4y2Ba

$\displaystyle (x',y') = \left(2\frac{x+(y-b)m}{1+m^2}-x,\ 2\frac{x+(y-b)m}{1+m^2}x-y+2b\right).\ _\square$

对一行中的反射有趣的应用是函数的图表及其逆功能是对称的GydF4y2Ba $x = Y.GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

正如我们所知,GydF4y2Ba $y = f（x）\意味着x = f ^ { - 1}（y）GydF4y2Ba$这可以解释为坐标的改变GydF4y2Ba $XGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $yGydF4y2Ba$，所以我们可以定义GydF4y2Ba $f ^ { - 1}（x）GydF4y2Ba$的图形的反射GydF4y2Ba $f（x）GydF4y2Ba$在整个行GydF4y2Ba $Y = X.GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

已知两个不动点GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$在任意直线的同一侧。找到由两个固定点和第三点形成的三角形的最小周边GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$这可能是在线的任何地方。GydF4y2Ba

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想法的想法：第三点位于与给定线一起加入一点图像的直线和第二点的交叉点。GydF4y2Ba