重排的不平等

的重排的不平等是一个关于两个序列的成对乘积的命题。它可以推广到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chebyshev-inequality/" class="wiki_link" title="切比雪夫不等式" target="_blank">切比雪夫不等式，并说明了的实际力量<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/greedy-algorithm/" class="wiki_link" title="贪心算法" target="_blank">贪心算法．

重排不等式表明，对于两个序列 $A_1 \geq a_2 \geq ldots \geq a_n$而且 $B_1 \geq b_2 \geq ldots \geq b_n$，不等式

$a_1b_1 + a_2b_2 + \ cdots + a_nb_n \组a_1b_{\π(1)}+ a_2b_{\π(2)}+ \ cdots + a_nb_{\π(n)} \组a_1b_n + a_2b_ {n} + \ cdots + a_nb_1$

持有, $\pi(1)， \pi(2)， \ldots， \pi(n)$有什么排列吗 $1,2， \ldots, n$．

考虑一个排列 $\pi(1)， \pi(2)， \ldots， \pi(n)$这样 $a_1b_{\π(1)}+ a_2b_{\π(2)}+ \ cdots + a_nb_{\π(n)}$是最大化。期望的结果是 $\π$是单位置换:即。 $\π(i) =我$对所有 $我$．为了矛盾起见，假设 $\π$是不恒等式，让 $我$是最小的整数，满足 $\pi(i) \neq i$．

自 $我$最小的是这样的整数，这意味着什么 $\π(i) = >我$(如数字 $1$来 $张$已经分配了)。此外，必须存在一个 $k >我$这样 $\π(k) =我$，因为必须分配给某个数字 $我$．

现在,因为 $i < j$，因此， $B_i \leq b_j$．同样,自 $我< k$，因此， $A_i \leq a_k$．因此,

$0 \ leq (a_k-a_i) (b_j-b_i) \意味着a_ib_j + a_kb_i \ leq a_kb_j + a_ib_i,$

所以求和 $a_1b_{\π(1)}+ \ cdots + a_nb_{\π(n)}$不是因改变而减少吗 $\π(i) = j \π(k) =我$来 $\π(i) =我,\π(k) = j$．这意味着单位置换给出的最大可能值 $a_1b_{\π(1)}+ a_2b_{\π(2)}+ \ cdots + a_nb_{\π(n)}$，如你所愿。

重排不等式的价值主要在于这样一个事实:它使一个人对a的直观形式化<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/greedy-algorithm/" class="wiki_link" title="贪婪算法" target="_blank">贪婪算法．例如，如果一个人面前有大量的20美元、10美元、5美元和1美元，并指示他从一种纸币中取4张，另一种纸币中取3张，另一种纸币中取2张，最后一种纸币中取1张，直觉上很明显，应该选择4张20美元、3张10美元、2张5美元和1张1美元。事实上，这正是重排不等式的表述，应用于序列 $20 10 5 1$而且 $4 3 2 1$．

就像<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chebyshev-inequality/" class="wiki_link" title="切比雪夫不等式" target="_blank">切比雪夫不等式时，必须小心确保两个序列的顺序相似。常见的策略包括

• $A \geq b \geq c暗示A +b + geq A +c + geq b+c$
• $A \geq b \geq c \表示\frac{1}{A} \leq \frac{1}{b} \leq \frac{1}{c}$．

循环变量也是一种强大的技术，因为这保留了一些顺序。例如,

表明,

$A²+b²+c²\geq ab+bc+ca$

为实数 $a, b, c$．

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在不丧失一般性的前提下假设 $A \geq b \geq c$．通过重排,

$A \cdot A +b \cdot b+c \cdot c \geq A \cdot b+b \cdot c+c \cdot A$

这正是我们想要的不等式。 $_ \广场$

类似的策略引出了另一个证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-mean-geometric-mean/" class="wiki_link" title="AM-GM不平等" target="_blank">AM-GM不平等：

表明,

$A ^4+b^4+c^4+d^4 \ geq4abcd$

对于正实数 $a, b, c, d$．

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在不丧失一般性的前提下假设 $A \leq b \leq c \leq d$．重排不等式告诉我们

$\begin{aligned} d \cdot d^3+c \cdot c^3 \geq d \cdot c^3+c \cdot d^3 &\暗示d^4+c^4 \geq dc^3+cd^3\\\\ d \cdot cd^2+b \cdot b^3 \geq d \cdot b^3+b \cdot cd^2 &\暗示cd^3+b^4 \geq db^3+bcd^2， \end{aligned}$

这意味着

$D ^4+c^4+b^4 \geq dc^3+db^3+bcd^2。$

另外，重排不等式告诉我们

$D \cdot bcd+a \cdot a^3 \geq D \cdot a^3+a \cdot bcd \意味着bcd^2+a^4 \geq da^3+abcd，$

这意味着

$D ^4+c^4+b^4+a^4 \geq dc^3+db^3+da^3+abcd，$

这就足够了 $Dc ^3+db^3+da^3 \ geq3abcd$,或 $A ^3+b^3+c^3 \ geq3abc$．然后重复这个论证，直到剩下来证明 $A \geq A$，这是不言而喻的。 $_ \广场$

• 切比雪夫不等式
• 贪婪算法
• 逆向重排不等式