这些是一些与有理根定理密切相关的定理。第一个是gydF4y2Ba整数根定理gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba是一个一元多项式(前导系数为1),那么有理根是gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba必须是整数。gydF4y2Ba
根据有理根定理,如果gydF4y2Ba
rgydF4y2Ba=gydF4y2BabgydF4y2Ba一个gydF4y2Ba的根gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba∣gydF4y2BapgydF4y2BangydF4y2Ba.但自gydF4y2Ba
pgydF4y2BangydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba的假设,gydF4y2Ba
bgydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba因此gydF4y2Ba
rgydF4y2Ba=gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba是一个整数。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
一个简短的例子展示了整数根定理的用法:gydF4y2Ba
表明,如果gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba正理性是这样的吗gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BaxgydF4y2Ba是整数吗gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba必须是整数。gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BaxgydF4y2Ba=gydF4y2BangydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba
ngydF4y2Ba是一个整数。这就相当于求根gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2BangydF4y2Ba.自gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba是一个一元多项式,根据整数根定理,如果gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba是有理根吗gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,则为整数根。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
下面是另一个定理:gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba是一个带积分系数的多项式,gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba是的整根吗gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba有任何整数不同于gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba−gydF4y2Ba米gydF4y2Ba分gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
在分裂gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba−gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2Ba我们得到了gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba−gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba,在那里gydF4y2Ba
问gydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba是一个具有积分系数的多项式。为gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba=gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba,我们得到gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba=gydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba−gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)gydF4y2Ba+gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba或gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba−gydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba−gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba问gydF4y2Ba(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.因此gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba−gydF4y2Ba米gydF4y2Ba分gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)gydF4y2Ba.gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
让gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba是一个多项式,系数为整数,让gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba9gydF4y2Ba8gydF4y2Ba9gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba8gydF4y2Ba9gydF4y2Ba1gydF4y2Ba.证明gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba没有整数根。gydF4y2Ba
如果gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba是整数的根吗gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba,然后gydF4y2Ba
一个gydF4y2BagydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba作为gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba)gydF4y2BagydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.也gydF4y2Ba
一个gydF4y2Ba必须是奇数,因为它必须除以常数项,即。gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba0gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba9gydF4y2Ba8gydF4y2Ba9gydF4y2Ba.但gydF4y2Ba
一个gydF4y2BagydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,因为gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2BagydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.所以采取gydF4y2Ba
米gydF4y2Ba=gydF4y2Ba1gydF4y2Ba利用上面的定理,我们看到gydF4y2Ba甚至gydF4y2Ba数量gydF4y2Ba
(gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba−gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba把gydF4y2Ba奇怪的gydF4y2Ba数量gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)gydF4y2Ba=gydF4y2Ba9gydF4y2Ba8gydF4y2Ba9gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,一个矛盾。gydF4y2Ba
因此gydF4y2Ba
fgydF4y2Ba(gydF4y2BaxgydF4y2Ba)gydF4y2Ba没有整数根。gydF4y2Ba
□gydF4y2Ba
试着用下面的问题来检验你对这些定理的理解:gydF4y2Ba
求出这个方程所有有理根的和gydF4y2Ba
xgydF4y2Ba5gydF4y2Ba−gydF4y2Ba4gydF4y2BaxgydF4y2Ba4gydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba3.gydF4y2Ba+gydF4y2Ba2gydF4y2BaxgydF4y2Ba2gydF4y2Ba+gydF4y2BaxgydF4y2Ba+gydF4y2Ba6gydF4y2Ba=gydF4y2Ba0gydF4y2Ba.gydF4y2Ba