三角函数的比值

除了基本的三角函数(正弦和余弦)，其他有用的函数可以定义为它们的比值。特别地，tan (tan)， csc (csc)， sec (sec)和cot (cot)函数定义为

$\ tan \θ= \压裂{\罪\θ}{\ cosθ\},~ ~ \ csc \θ= \压裂{1}{\罪\θ},~ ~ \秒\θ= \压裂{1}{\ cosθ\},~ ~ \床\θ= \压裂{\ cosθ\}{\罪\θ}。$

其中,切是最有趣的，因为有一个自然的几何解释和满足几个额外的性质。

考虑下面的直角三角形:

这些边是关于角的 $\θ$是

$\begin{aligned} a &= text{adjacent}\\ b &= text{opposite}\\ c &= text{斜边}。结束\{对齐}$

然后基本的三角函数是由

$罪\开始{对齐}\ \θ& = \压裂{{相反})(\文本}{{斜边})(\文本}= \压裂{b} {c} \ \ \ cosθ& = \ \压裂{{相邻})(\文本}{{斜边})(\文本}= \压裂{一}{c} \ \ \ tan \θ& = \压裂{{相反})(\文本}{{相邻})(\文本}= \压裂{b}{}。结束\{对齐}$

我们还有下面的互反函数

$\开始{对齐}\ csc \θ& = \压裂{1}{θ罪\ \}\ \ \秒\θ& = \压裂{1}{\ cosθ\}\ \ \床\θ& = \压裂{1}{\ tan \θ}。结束\{对齐}$

例如, $\床\θ$可以表示为

$\床\θ= \压裂{1}{\ tan \θ}= \压裂{1}{\压裂{b}{一}}= \压裂{一}{b} = \压裂{{相邻})(\文本}{{相反})(\文本}。$

如果斜边和对边的长度是 $c = 5$和 $b = 3$，分别在下面的直角三角形中，什么是 $\ \因为θ?$

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因为斜边的长度是5，对边的长度是3，根据勾股定理，邻边的长度是

$\开始{对齐}({斜边}\文本)^ 2 & =(\文本{相反})^ 2 +(\文本{相邻})^ 2 \ \ 5 ^ 2 & = 3 ^ 2 +(文本\{相邻})^ 2 \ \ \ Rightarrow文本(\{相邻})& = 4。结束\{对齐}$

因此, $\ cosθ= \ \ dfrac{{相邻})(\文本}{{斜边})(\文本}= \压裂{4}{5}。\ _ \广场$

如果 $罪\ \θ= \压裂{1}{2}$和 $\cos \theta = frac{1}{√{3}}$在直角三角形中，那么 $谭\ \θ?$

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自 $tan = frac{sin}{cos}，$

$\ tan \θ= \压裂{\罪\θ}{\ cosθ\}= \压裂{\ \ \压裂{1}{2}\}{\压裂{1}{\ sqrt{3}}} = \压裂{\ sqrt{3}}{2}。\ _ \广场$

如果 $\床\θ= \压裂{1}{3}$在直角三角形中，什么是 $谭\ \θ?$

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自 $谭\ \θ$和 $\床\θ$是相互的倒数，

$谭\ \θ= \压裂{1}{\床\θ}= \压裂{1}{\ \压裂{1}{3}\}= 3。\ _ \广场$

如果 $tan + cot =2，$是什么 $sin cdot cos ?$

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我们有

$\begin{aligned} tan \theta + cot \theta &= frac{sin \theta}{cos \theta} + frac{cos \theta}{sin \cdot \cos \theta}结束\ qquad(1) \{对齐}$

同时，观察的价值 $sin^2 + cos^2$获取方式如下:

$\开始{对齐}\罪^ 2 \ \ cosθ+ ^ 2 \θ& = \离开(\压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}\右)^ 2 + \离开(\压裂{\文本{相邻}}{\文本{斜边}}\右)^ 2 \ \ & = \压裂{文本(\{相反})^ 2 +(\文本{相邻})^ 2}{文本(\{斜边})^ 2}\ \ & = \压裂{文本(\{斜边})^ 2}{文本(\{斜边})^ 2}= 1。结束\ qquad(2) \{对齐}$

然后从 $（1）$和 $(2),$ $sin cdot cos$获取方式如下:

$\begin{aligned} tan \theta + cot \theta &= frac{sin^2 + cos^2}{sin \cdot \cos \theta} 2 &= frac{1}{sin \cdot \cos \theta}右tarrow \sin \cdot \cos \theta &= frac{1}{2}。\ _ \square \end{aligned}$

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