激进的方程

一个激进的方程包含至少一个包含变量的根号。举个例子，你可以考虑下面的等式:

$\qquad \qquad \qquad \sqrt{x+2}=x-3$．

解决激进的方程需要应用规则的指数遵循一些基本的代数的原则。在某些情况下，它还需要注意将未知数加为an所产生的错误甚至权力．

根号是一个指数指数是一个分数．举个例子 $\sqrt[n]{x^m} = x^ {m/n}$．一个激进的方程包含至少一个包含变量的根号。

一个平方根 $左\ \√{x} \右)$化简后，当根号(值里面的平方根号，是什么 $x$在本例中)没有平方因子。这可以通过先因式分解根式来有效地实现，从而知道要提出来哪些项。

这是一个基于自由基基础的问题。

解一个根式方程的首要步骤是消去根式指数，得到一个多项式方程，并检验得到的根是否满足原方程，以摆脱多余的根。

下面是求解根式方程的步骤:

1. 消去自由基或有理指数，得到多项式方程。关键的一步是将方程两边取相同的幂。如果 $a = b,$然后 $一个^ ^ n n = b$．[幂等性质]

2. 然后用标准程序求解新方程。在将一个方程的两边取相同的幂之前，应该在方程的一边分离出根式。

3. 然而，事实并非如此。在解基本方程时，我们必须始终小心无关的根．外根是满足通过平方得到的多项式的根，但不满足原始的根方程。

问题:为什么会出现外根?

答:假设我们要解根号方程 $一个= \ sqrt {B},$在哪里 $一个$而且 $B$都是多项式。两边平方得到 $^ 2 = B,$解决这个问题就能同时解决两个问题 $= \ sqrt {B}$而且 $= - \ sqrt {B}。$满足的根 $= - \ sqrt {B}$不是我们要找的东西。因此，我们一定不要忘记检查我们得到的根是否满足原根方程。

然而，我们经常会遇到包含平方根的基本方程。解这类方程的方法很简单。把平方根放在方程的一边把非自由基放在另一边。然后两边平方，得到一个可以解的多项式!

为了进行演示，我们将使用下面的例子，并使用上述步骤解决它:

解方程 $\ sqrt {x + 3} = x + 1。$

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步骤1:
两边平方(这样就可以消去平方根)得到 $x x ^ 2 + 2 + 3 = x + 1。$

步骤2:
重新排列条件，我们有 $x ^ 2 + x - 2 = (x + 2) (x - 1) = 0 \ Rightarrow x = 2 \文本{或}x = 1。$

步骤3:
观察到 $x = 2$一个无关的根是因为 ${lh} = \ \文本sqrt {(2) + 3} = 1 \ ne (2) + 1 = {RHS} \文本。$然后自 ${lh} = \ \文本sqrt {(1) + 3} = 2 = (1) + 1 = {RHS} \文本,$方程的解 $\ sqrt {x + 3} = x + 1$是 $x = 1。$ $_ \广场$

尝试使用上述步骤解决以下问题。

本节通过几个例子和问题的尝试来增强解决问题的技能。

解方程 $x - 2 = \ sqrt {2 x + 31}。$

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两边平方得到 $x ^ 2 + 4 = 2 x + 31。$重新排列条件，我们有

$x ^ 2-6x-27 = (x + 3) (x - 9) = 0 x = 3 \ \ Rightarrow文本{或}x = 9。$

观察到 $x = 3$一个无关的根是因为

$文本\ {lh} = (3) 2 = 5 \ ne \√{2 \ cdot (3) + 31} = {RHS} \文本。$

然后自

$文本\ {lh} =(9) 2 = 7 = \√{2 \ cdot (9) + 31} = {RHS} \文本,$

方程的解 $x - 2 = \ sqrt {2 x + 31}$是 $x = 9。$ $_ \广场$

解方程 $\ sqrt {2 x ^ 2 + 7} + 1 = 2 x。$

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这个方程 $\ sqrt {2 x ^ 2 + 7} + 1 = 2 x$相当于 $\ sqrt {2 x ^ 2 + 7} = 2 x - 1。$两边平方得到 $2 x ^ 2 + 7 = 4 x ^ 2 + 1。$重新排列条件，我们有

$2 x ^ 2-4x-6 = 2 (x ^ 2-2x-3) = 2 (x + 1) (3) = 0 \ Rightarrow x = 1 \文本{或}x = 3。$

观察到 $x = 1$是否是外根since

$大概{2 \文本{lh} = \ \ cdot (1) ^ 2 + 7} = 3 \ ne 2 \ cdot (1) 1 = {RHS} \文本。$

然后自

$大概{2 \文本{lh} = \ \ cdot (3) ^ 2 + 7} = 5 = 2 \ cdot (3) 1 = {RHS} \文本,$

方程的解 $\ sqrt {2 x ^ 2 + 7} + 1 = 2 x$是 $x = 3。$ $_ \广场$

这里有一些问题供你尝试。

• 系统的方程

• 二次方程

• 函数方程