2圆的根轴

2圆根轴:

给定两个圆 $\γ$而且 $\ψ$，两个圆的根轴是关于两个圆的幂相等的点的集合。

回想一下一点的力量 $P$相对于有圆心的圆 $O$和半径 $r$是由 $\ lvert \眉题{阿宝}\ rvert ^ 2 r ^ 2$．

根轴总是一条直线。这很容易用笛卡尔坐标证明。证明如下:

证明两个圆的根轴是一条直线。

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在笛卡尔平面上，假设有两个圆 $\γ$而且 $\ψ$有半径 $r$而且 $年代$，和中心 $R (0)$而且 $年代(b, 0)$，分别为 $b \ neq$(注意，我们把它们的中心放在 $x$-轴，因为我们总是可以建立一个坐标系，两个中心位于一个轴上)。让 $\ mathcal E$是圆的根轴。对于任意一点 $P (x, y)$躺在 $\ mathcal E$，我们必须平等 $\ lvert \眉题{公关}\ rvert ^ 2 r ^ 2 = \ lvert \眉题{PS} \ rvert ^ 2 s ^ 2$因为幂相等。应用勾股定理(或距离公式)，我们发现 $\ lvert \眉题{公关}\ rvert ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2$而且 $\ lvert \眉题{PS} \ rvert ^ 2 =(取向)^ 2 + y ^ 2$．所以方程就变成了

$x ^ 2 + y ^ 2 r ^ 2 =(取向)^ 2 + y ^ 2 s ^ 2 ~ x = \ \ Longleftrightarrow ~ dfrac {a + b} {2} - \ dfrac {r ^ 2 s ^ 2} {2} (a - b)。$

请注意, $a、b r, s$是常数。所以我们得到两点首先，由于最终方程是线性的，所以根轴是一条直线;其次，既然我们有了解 $x$，根轴平行于 $y$-轴，因此垂直于 $x$设在。但是, $x$-axis是连接两个圆的圆心的直线。

因此，根轴是一条垂直于连接两个圆的中心的线。 $_ \广场$

应用上述结果，我们可以注意到另一件有趣的事情。注意，任何圆周上的点都有幂 $0$关于那个圈子，从那时起 $\ lvert \眉题{阿宝}\ rvert = r$因此 $\ lvert \眉题{阿宝}\ rvert ^ 2 r ^ 2 = 0$．所以，如果两个圆相交于两个不同的点(也就是说，彼此不相切)，那么它们的根轴就是连接这两个交点的直线。因为交点相对于两个圆的幂相等(零)，所以它们必须位于根轴上。但由于根轴是一条直线，这条直线一定是这两点的连接线!

类似地，如果圆是切向的，则根轴是圆在接触点的公切，因为接触点位于根轴上，而切线垂直于连接中心的直线。