量子谐振子

在足够小的能量下谐振子受…的法律管辖量子力学，简称为量子谐振子，与根据……的规律所作的描述有很大的不同经典物理学。经典谐振子的能量可以取任意正值，而量子谐振子的能级是离散的 $E_n$给出的

$E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right)，$

在哪里 $\百巴$是普朗克常数， $\ω$是(经典的)角频率, $n$是一个非负整数。此外，经典谐振子局限于空间的有限区域，而量子谐振子在任何地方都有非零(但渐近消失)的概率。

作为为数不多的动力学可以精确确定的重要量子力学系统之一，量子谐振子经常作为描述许多现实世界现象的基础，如分子振动。

能量 $E$以及它们对应的特征函数 $\ psi (x)$的一维量子谐振子满足时间无关性薛定谔方程：

$左(\ \压裂{\帽子{p} ^ 2} {2 m} + \压裂{1}{2}m \ {x} ^ω^ 2 \帽子2 \右)| \ψ\纠正= E | \ \捕杀,$

在哪里 $帽子\ {x}$和 $帽子\ p {}$分别是位置算子和动量算子。的梯操作符获得特征函数和能量的方法(由于狄拉克)就是用所谓的降低运营商

$大概{\帽子{a} = \ \压裂{mω\}{2 \百巴}}\帽子{x} + i \压裂{1}{\ sqrt {2 m \ω\百巴}}{p} \帽子$

和它的伴随,提高操作符

$帽子\{一}^ \匕首= \√6{\压裂{mω\}{2 \百巴}}\帽子{x} -我\压裂{1}{\ sqrt {2 mω\ \百巴}}{p} \帽子,$

满足对易关系

$\big[\hat{a}， \hat{a}^\dagger\big] = 1。$

Schrödinger方程可以因式分解为

$\hbar \omega \左(\hat{a}^\dagger \hat{a} + \frac{1}{2}\右)|\psi\rangle = E |\psi\rangle$

或

$\hbar \omega \left(\hat{a} \hat{a}^\dagger - \frac{1}{2}\right) |\psi\rangle = E |\psi\rangle。$

利用交换关系，我们可以证明如果 $| \psi \rangle$特征函数有特征值吗 $E,$那么也必须如此 $\hat{a}^\dagger | \psi \rangle$具有相应的特征值 $E + \hbar \$和 $\hat{a} | \psi \rangle$具有相应的特征值 $E - \hbar \。$本质上，给定一个特征函数和相应的能量，应用提升算子得到一个新的特征函数 $\大($即 $\hat{a}^\dagger | \psi \rangle\big)$对应的能量增加 $\百巴\ω$同时应用降算子得到一个新的特征函数 $\big(\hat{a} | \psi \rangle\big)$能量减少了 $\百巴\ω。$

这种降低不可能无限期地进行下去;一定存在某个最低能级 $E_0$对应于一个特征函数 $| \psi_0 \rangle$的

$| \hat{a} \psi_0 \rangle = 0。$

因此，所有特征函数的谱都可以用一个非负整数来枚举 $护士:$

$| \psi_n \rangle = \left(\hat{a}^\dagger\right)^n | \psi_0 \rangle$

具有相应的特征值

$E_n = n \hbar \omega + E_0。$

从与时间无关的Schrödinger方程中，可以很直观地看出对应于 $| \psi_0 \rangle$(即基态波函数)为

$左(\ \ psi_0 (x) = \压裂{mω\}{\π\百巴}\)\ exp \离开(- \压裂{mω\ x ^ 2}{2 \百巴}\右)$

具有相应的能量特征值

$E_0 = \frac{1}{2} \hbar \omega$

如此......以至于......

$E_n =ω\百巴\ \离开(n + \压裂{1}{2}\右)。$

一般来说，波函数的封闭形式表达式 $\ psi_n (x)$(可以通过解析解Schrödinger波动方程得到)是

$左(\ \ psi_n (x) = \压裂{mω\}{\π\百巴}\)\压裂{1}{\√6 {2 ^ n n !}}左H_n \ \√x {mω\ / \百巴}\)\ exp \离开(- \压裂{mω\ x ^ 2}{2 \百巴}\右),$

在哪里 $H_n$是 $n ^ \文本{th}$埃尔米特多项式。下面是前几个波函数的图:

因为谐波势不会消失，所有的特征态都不会消失绑定而且能谱是离散的，尽管，作为量子力学的特征，波函数扩展到所有空间(仅在节点处为零)。这应该与经典谐振子形成对比，经典谐振子的概率密度受其振荡幅度的限制，其能量是连续的。下图是量子谐振子基态的概率密度与经典振子u形密度的比较。

利用阶梯算子，无需直接积分即可计算出谐振子的许多动态量。可以将位置和动量算子表示如下:

$大概{\帽子{x} = \ \压裂{\百巴}{2 mω\}}\离开(\帽子{一}^ \匕首+ \帽子{一}\右)$

和

$大概{\帽子{p} =我\ \压裂{\百巴m \ω}{2}}\离开({一}^ \ \帽子匕首-{}\ \帽子)。$

更进一步，我们可以证明阶梯算子对特征态的作用根据

$帽子\{一}^ \匕首| \ psi_n \捕杀= \ sqrt {n + 1} | \ psi_ {n + 1} \捕杀$

和

$\帽子{一}| \ psi_n \捕杀= \ sqrt {n} | \ psi_ {n} \捕杀。$

有了这些关系，以及特征函数是正交的，也就是说

$\langle \psi_i | \psi_j \rangle = \delta_{ij}，$

一个人可以计算许多利息量。

很容易证明，位置和动量的期望值对于任何 $n$由于特征函数是正交的:

${对齐}\ langle x \ \开始捕杀& = \√6{\压裂{\百巴}{2 mω\}}\ \ langle \ psi_n大\大| \ \帽子{一}^ \匕首+{}\ \帽子大)\大| \ psi_n \ \纠正\ \ & = \√6{\压裂{\百巴}{2 mω\}}\大\√{n + 1} \ langle \ psi_n | \ psi_ {n + 1} \捕杀+ \ sqrt {n} \ langle \ psi_n | \ psi_ {n} \纠正\大)\ \ & = 0。结束\{对齐}$

同样的,

$\begin{aligned} \langle p \rangle &= I \sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}} \big\langle \psi_n \big| \big(\hat{a}^\dagger - \hat{a} \big) \big| \psi_n \big\rangle \\ &= I \sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}} \big(\sqrt{n+1} \langle \psi_n | \psi_{n+1} \rangle - \sqrt{n} \langle \psi_n | \psi_{n-1} \rangle \big) \\ &= 0。结束\{对齐}$

证明了基态是谐振子在位动量空间中唯一具有最小不确定性的本征态 $（$也就是说，等式对海森堡测不准关系在 $x$和 $p)。$

---

首先，我们计算位置平方的期望

$\开始{对齐}\大\ langle x ^ 2 \ \纠正& = \离开(\压裂{\百巴}{2 mω\}\)\ \ langle \ psi_n大\大| \ \帽子{一}^ \匕首+{}\ \帽子大)^ 2 \大| \ psi_n \ \纠正\ \ & = \离开(\压裂{\百巴}{2 mω\}\)\ \ langle \ psi_n大\大| \({{一}^ \ \帽子匕首}{一}^ ^ 2 + \帽子帽子\匕首\{一}+{}\ \帽子帽子{一}{一}^ ^ \匕首+ \帽子2 \大)\大| \ psi_n \ \纠正\ \ & = \离开(\压裂{\百巴}{2 mω\}\)\大(0 + \ sqrt {n} | \ psi_ {n} \捕杀+ \ sqrt {n + 1} | \ psi_ {n + 1} \纠正\大)\ \ & =\left(\frac{\hbar}{2m\omega}\right) (2n + 1) \end{aligned}$

动量的平方

$\开始{对齐}\大\ langle p ^ 2 \ \纠正& = - \离开(\压裂{\百巴m \ω}{2}\)\ \ langle \ psi_n大\大| \ \帽子{一}^ \匕首-{}\ \帽子大)^ 2 \大| \ psi_n \ \纠正\ \ & = - \离开(\压裂{\百巴m \ω}{2}\)\ \ langle \ psi_n大\大| \({{一}^ \ \帽子匕首}{一}^ ^ 2 - \帽子帽子\匕首\{一},{}\ \帽子帽子{一}{一}^ ^ \匕首+ \帽子2 \大)\大| \ psi_n \ \纠正\ \ & = - \离开(\压裂{\百巴m \ω}{2}\)\大(0 -大概{n} | \ \ psi_ {n} \纠正——大概{n + 1} | \ \ psi_ {n + 1} \纠正\大)\ \ & =左(\ \压裂{\百巴m \ω}{2}\右)(2 n + 1)。结束\{对齐}$

结合之前的计算结果 $\角x \角= \角p \角= 0$收益率

$\left(\Delta x \右)\left(\Delta p \右)= \sqrt{\big\langle x^2 \big\rangle - \big\rangle x \big\rangle^2}\sqrt{\left\langle x^右\rangle^2} = \frac{\hbar}{2} (2n + 1)，$

哪一个的不确定性最小 $\百巴/ 2$只针对基态 $N = 0。$

许多实际电位可以被当作(或至少近似地)谐波电位。双原子气体分子的核间势阱，如分子氧或分子氮，可以看作是谐波势，在这种情况下，振动能级 $\ epsilon_n$是由

$\epsilon_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2} \right)，$

振动的角频率在哪里 $\ω$可以由分子的力常数和它的降低质量。

的配分函数因为系统是

$q = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty e ^ {\ epsilon_n / kT} = \压裂{e ^{-ω\百巴\ / 2 kT}} {1 - e ^{- \百巴\ω/ kT}},$

在哪里 $k$是波尔兹曼常数和 $T$的温度。

从配分函数中，我们可以计算许多感兴趣的热力学量，比如热力学振动能

$E = NkT ^ 2 \压裂{d \ ln {q}} {dT} = Nk \离开(\压裂{\百巴\ω}{2 k} + \压裂{\百巴\ω/ k} {E ^{\百巴\ω/ kT} - 1} \右)$

或者振动热容

$C_v = \离开(\压裂{\部分E}{\部分T} \右)= Nk \离开(\压裂{\百巴\ω}{kT} \右)^ 2 \压裂{E ^{\百巴\ω/ kT}}{\离开(E ^{\百巴\ω/ kT} - 1 \右)^ 2}。$

为 $kT \gg \hbar\，$一个得到经典的结果 $E = NkT$和 $C_v = Nk。$

[1]王志强，王志强。第二版。皮尔森,2004年。

[2]李志强，李志强。大学科学图书，2000。

[3]张建军，李建军。量子力学的基本原理。第二版。全体会议,1994。