二次方程式

一个二次方程是A.<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/polynomials/" class="wiki_link" title="多项式" target="_blank">多项式有二级的等式。换句话说，它是形式的等式 $AX ^ 2 + Bx + C = 0$， 在哪里 $一个$， $b$和 $c$为实数 $一\ NEQ 0$．

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/factoring-polynomials/" class="wiki_link" title="多项式因式分解" target="_blank">多项式因式分解

我们可以用因式分解和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/zero-product-property/" class="wiki_link" title="零产品物业" target="_blank">零产品物业．一般来说，我们可以重写二次作为两个线性因素的乘积，使其如此 $斧^ 2 + BX + C = A（X + P）（X + Q）$．根据零积性质，

$\文本{如果} \斧^ 2 + BX + C = A（X + P）（X + Q）= 0，\ \ {文本然后要么} \ X = -p \ \ {文本或} \ X = -q值。$

现在，要对二次方程来说，请遵循这些步骤。

$1）$我们必须中断 $b$（系数 $x$）到这样两个词，他们的总和 $b$它们的产物是 $交流:$

$Ax ^2+bx+c=0意味着Ax ^2+(b_1+b_2)x+c=0 \text{使得}b_1+b_2=b \text{and}b_1 \乘以b_2=ac。$

$2）$接下来，我们需要组 $斧^ 2 + b_1x \文本{和} b_2x + C$和因式分解他们的方式，他们都有一个共同的因素。

现在，我们将有转化为因素的公式。从这里开始，解决的办法是容易的。我们使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/zero-product-property/" class="wiki_link" title="零产品物业" target="_blank">零产品物业和等同每个因素 $0$， IE。 $（x-\ alpha）= 0 \意味着x = \ alpha$和 $（X- \测试版）= 0 \意味着X = \测试$．

解决 $x ^ 2 + 5 + 6 = 0$为 $x$通过分解方法。

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按照上面提到的步骤，我们首先打破系数 $x$两项的和等于 $5$他们的产品等于 $1 \ times 6 = 6$： $x ^ 2 + (2 + 3) x + 6 = 0,$在这里我们可以看到， $2 + 3 = 5$和 $2 \倍3 = 6$： $\ begin {对齐} x ^ 2 + 2x + 3x + 6＆= 0 \\ x（x + 2）+3（x + 2）＆= 0。结束\{对齐}$取出 $（X + 2）$作为公因数，我们有 $\ BEGIN {对齐}（X + 3）（X + 2）＆= 0 \\ X + 3＆= 0 \意味着X = -3 \\ X + 2＆= 0 \意味着X = -2。结束\{对齐}$因此，给定方程的两个根是 $-3$和 $-2$． $_\正方形$

解决由上分解一元二次方程的方法：

第1步。使所给方程式不含分数和自由基，把它化成标准形式 $ax ^ 2 + bx + c = 0。$

步骤2。比化 $ax ^ 2 + bx + c$分成两个线性因子。

第3步。让每个线性因子等于 $0$（应用零产品规则）。

第四步。解决这些线性方程，并得到了给定二次方程的两个根。

解决 $X ^ 2 - X - 6 = 0$通过分解方法。

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我们有 $X ^2 - X - 6 = (X -3)(X +2)$这使 $x = 3.$或者 $X = -2$． $_\正方形$

注意的因素 $X ^2 - X - 6$是 $1，X ^ 2 - X - 6，X-3，$和 $x + 2$．

解方程 $的x ^ 2 + 3×+ 2 = 0$为 $x$．

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我们有 $\ BEGIN {对齐}的x ^ 2 + 3×2 +＆= 0 \\的x ^ 2 + 2X + X + 2＆= 0 \\ X（X + 2）1（X + 2）＆= 0 \\（X + 2）（X + 1）= 0。结束\{对齐}$所以,
$\ BEGIN {对齐}（X + 2）= 0 \ {文本或}（X + 1）= 0 \\ X = -2 \文本{或} X = -1。\ _ \平方\ {端对齐}$

笔记：我们不能总是只用线性因子<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数" target="_blank">实数．对于一些二次方程 $（$例如。， $的x ^ 2 + 1）$，线性因素需要<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复杂的" target="_blank">复杂的数字:

$x ^ 2 + 1 =（x + i）（x-i）。$

试试下面的问题：

当给定变量的两个位置时，我们必须把它们写成这种形式 $\ text {（变量 - value = 0）}$．

为了找到从根部公式：

步骤1.如果可变 $x$，并给出了两个值 $x = A.$和 $X = B$，那么我们要把它们化简成 $X-A = 0 \四\文本{和} \四X-B = 0。$步骤2。将等式相乘并化简，我们得到: $开始\{对齐}(x)(取向)& = 0 \ \ x ^ 2 - (a + b) + ab = 0。结束\{对齐}$

求根为的二次方程 $2$和 $-3$

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考虑变量中的等式 $x$，我们有以下几点:
$\ BEGIN {对齐} X = 2＆\意味着（X-2）= 0 \\ X = -3 \意味着（X + 3）= 0。结束\{对齐}$把两个方程相乘，得到 $\ begin {对齐}（x-2）（x + 3）＆= 0 \\ x（x + 3）-2（x + 3）＆= 0 \\ x ^ 2 + 3x-2x-6＆= 0\\ x ^ 2 + x-6＆= 0。\ _ \ square \ END {对齐}$

求根为的二次方程 $5$和 $6$

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考虑变量中的等式 $x$，我们有以下几点:
$\begin{aligned} x&=5 \implies x-5=0\\ x&=6\implies x-6=0。结束\{对齐}$乘以等式的给出 $\ begin {对齐}（x-5）（x-6）＆= 0 \ x（x-6）-5（x-6）＆= 0 \\ x ^ 2-6x-5x + 30＆= 0\\ x ^ 2-11x + 30＆= 0。\ _ \ square \ END {对齐}$

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/completing-the-square/" class="wiki_link" title="完成广场" target="_blank">完成广场

对于二次多项式 $f（x）= ax ^ 2 + bx + c$，完成平方装置找到形式的表达

$f（x）= a（x-b）^ 2 + c。$

求二次方程的平方 $X ^2 + 8x + 10$．

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由于我们的中期是 $8x.$，我们想要的是这个形式的完全平方 $（x + 4）^ 2$，它扩展成 $X ^2 + 8x + 16$．

因此，我们可以这样做:

$\{对齐}开始x ^ 2 + 8 x + 10 & = x ^ 2 + 8 x + 16 - 16 + 10 \ \ & = (x ^ 2 + 8 x + 16) - 6 \ \ & = (x + 4) ^ 2 6。\ \ _ \广场结束{对齐}$

解决这个等式 $2x ^ {2} + 3x + 1 = 0$通过完成方的方法。

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先取 $2$作为常见的有： $2 \离开(x ^{2} + \压裂{3 x}{2} \右)+ 1 = 0$．由于我们的中期是 $\压裂32 x,$我们知道我们将希望具有完美的方形与表格

$\左右（x + \ dfrac {3} {4} \右）^ 2 = X ^ {2} + \ dfrac {3×} {2} + \ dfrac {9} {16}。$

所以将整个等式重写为

$\开始{对齐的} 2 \左右（x + \ dfrac {3×} 2 + \ dfrac {9} {16} - \ dfrac {9} {16} \右）1＆= 0 \\ 2 \左右（x + \dfrac {3×} 2 + \左（\ dfrac {3} {4} \右）^ {2} - \ dfrac {9} {16} \右）1＆= 0 \\ 2 \左右（x + \ dfrac{3} {4} \右）^ {2} - \ dfrac {1} {8}＆= 0 \\ \左右（x + \ dfrac {3} {4} \右）^ {2}＆= \ dfrac{1} {16}。结束\{对齐}$

因此，我们有

$\开始{对齐} X + \ dfrac {3} {4}＆= \ PM \ dfrac {1} {4} \\？\ RIGHTARROW X＆= - \ dfrac {1} {2} \，\文本{或} \中，x = -1。\ _ \平方\ {端对齐}$

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-formula/" class="wiki_link" title="二次方程" target="_blank">二次方程

二次公式说明了这个方程 $AX ^ 2 + Bx + C = 0$，值 $x$由下面给出：

$X = -b = pm = sqrt{b^2 -4ac}}$

要看这个公式是如何通过补平得到的，请看<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-formula/" class="wiki_link" title="二次方程" target="_blank">二次方程．

解决 $5 x ^ 2-2x-3 = 0$为 $x$．

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这里， $a = 5，b = -2，c = -3$．使用二次公式，我们得到

$\开始{对齐} X - = \ dfrac {-b \时\ SQRT {B ^ 2 -4ac}} {2A} \\＆= \ dfrac { - （ - 2）\时\ SQRT {（ - 2）^2 - 4×5×-3}} {2×5} \\＆= dfrac {2 \ PM \ SQRT {4 +60}} {10} = \ DFRAC {2 \ PM \ SQRT {64}}} {10.}\\ & = \dfrac {2 \pm 8}{10}\\ \Rightarrow x & = -0.6 \, \text{ or }\, x=1.\ _\square \end{aligned}$

解决 $x ^ 2-4x + 1$为 $x$．

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这里， $a = 1，b = -4，c = 1$．使用二次公式，我们得到

$\开始{对齐} X - = \ dfrac {-b \时\ SQRT {B ^ 2 -4ac}} {2A} \\＆= \ dfrac { - （ - 4）\时\ SQRT {（ - 4）^2 - 4×1×1}} {2×1} \\＆= \ dfrac {4 \时\ SQRT {16 -4}} {2} = \ dfrac {4 \时\ SQRT {12}} {2} \\＆= \ dfrac {4 \下午2×\ SQRT {3}} {2} \\？\ RIGHTARROW X＆= 2 + \ sqrt3 \，\ {文本或} \，X = 2- \ sqrt3。\_ \平方\ {端对齐}$

解决 $的x ^ 2-20x-69 = 0$为 $X。$

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替换的值 $a = 1, b = -20, c = -69$在二次公式中，我们得到

$\{对齐}开始x & = \ dfrac{-(-20)下午\ \√6{(-20)^ 2×4×-69}}{2×1}\ \ & = \ dfrac{20 \ \下午sqrt {400 + 276}} {2} \ \ & = \ dfrac{20 \ \下午sqrt {676}} {2} \ \ & = \ dfrac{26日下午20 \}{2}\ \ \ Rightarrow x & = 23 \{或}\ \文本,x = 3。\ \ _ \广场结束{对齐}$

试试下面的问题：

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/parabolas/?wiki_title=Parabolas" class="wiki_link new" title="抛物线" target="_blank" rel="nofollow">抛物线

这里是示出上述示例的示例。

找到带顶点的抛物线的等式 $（0,0）$如果它的对称轴是 $y$-axis及其图表包含该点 $\左（\ frac {-1} {2}，2 \右）$．

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我们写了抛物线的顶点形式 $y = a（x ^ 2）$．插上给定点的坐标找到 $一个$

$\开始{对齐} 2＆= A \倍\左（\ dfrac {-1} {2} \右）^ 2 \\ A＆= 8 \\？\ RIGHTARROW Y'= 8X ^ 2。\ _ \平方\END {对齐}$

试试下面的问题：

一个二次方程的根的性质可以通过密切观察二次公式来确定。它基本上包括一个判别这实际上使配方中的差异，导致了我们两个根。

我们知道二次公式为

$x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 -4ac}}}}}}}}}} {2a}$

对于任何写成标准形式的二次方程 $ax ^ 2 + bx + c = 0$．判别 $D$对于二次方程

$d = b ^ 2-4ac，$

在哪里

$\begin{case} b^2-4ac \gt 0: & \text{两个不同的实根}\\ b^2-4ac=0: & \text{相等的实根}\\ b^2-4ac \lt 0: & \text{虚根}。\{病例}结束$

求下列两个二次方程的根的性质:

$\ begin {对齐} 2x ^ 2 + x-1＆= 0 \\ x ^ 2-4x + 4＆= 0。结束\{对齐}$

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1. 对于二次方程 $2 x ^ 2 + x - 1 = 0$：
   自 $A = 2，B = 1，C = -1，$ $\ begin {对齐} b ^ 2-4ac＆= 1 ^ 2-4 \ times 2 \ times -1 \\＆= 9> 0，\ ext {对齐}$这意味着根部是真实的和独特的。

2. 对于二次方程 $x ^ 2-4x + 4 = 0$：
   自 $a = 1，b = -4，c = 4，$ $\开始{对齐} b ^ 2-4ac＆=（ - 4）^ 2-4 \倍1 \倍4 \\＆= 0，\ {端对齐}$这意味着根源是真实的和重复。 $_\正方形$

发现价值 $k$其下述二次多项式有重根：

$x ^ 2 + 4x + k。$

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我们知道，如果 $D = 0,$那么二次多项式有重根。所以,

$\ BEGIN {对齐} b ^ 2-4ac＆= 0 \\（4）^ 2-4（1）（K）＆= 0 \\ K＆= 4。\ _ \平方\ {端对齐}$

证明方程 $的x ^ 2 + DX-1 = 0$对所有真正的价值有真实和不同的根源 $d$．

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这里， $A = 1，B = d，$和 $c = -1$．所以判别会是

$D = D ^ 2 - 4×1×1 = D ^ 2 + 4。$

自 $D ^ 2.$是一个完美的正方形，它总是大于或等于 $0$．所以,

$d = d ^ 2 + 4 \ GEQ 4。$

因此，判别式总是大于 $0$，这意味着这个方程有任何真正的价值不同的实根 $d$． $_\正方形$

两年前，一个男人的年龄是他儿子年龄的三倍。三年后，他的年龄将是他儿子的四倍。找出他们现在的年龄。

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让孩子的年龄是 $x$．两年前的儿子年龄是 $x - 2$他父亲两年前的年龄是 $3周\时间（X-2）^ 2$．这暗示了父亲现在的年龄 $大\[3×(x - 2) ^ 2 \]大+ 2$因此，再过三年，他的年龄就到了 $大[3×（x-2）^ 2 \ big] +2+ 3 = \ big [3×（x-2）^ 2 \ big] +5$．3年的儿子的年龄将是 $x + 3.$．

根据给定的条件下，以下成立：

$\ begin {array} {rl} 3（x-​​2）^ 2 + 5＆= 4（x + 3）\\ \ lightarrow 3x ^ 2-16x + 5＆= 0 \\ \ lightarrow（3x-1）（x-5）＆= 0 \\ \ lightarrow x＆= \ frac 13,5. \ end {array}$

如果 $x$＝ $\压裂{1}{3}$，那么儿子的年龄2年前会成为负数，这是不可能的。所以，儿子的存在年龄 $X = 5$，这意味着，这名男子目前的年龄

$\ begin {对齐} 3 \ times（x-2）^ 2 + 2＆= 3 \ times（5-2）^ 2 + 2 \\＆= 3 \ times 3 ^ 2 + 2 \\＆= 3×9+2 \\＆= 27 + 2 \\＆= 29. \ _ \ square \ END {对齐}$

找出两个和为 $40$和产品 $375.$．

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让一个号码 $x$．然后，根据第一个条件，第二个数字是 $40-X$．代替，在第二条件下的价值，我们得到

$\ begin {对齐} x（40-x）＆= 375 \\ 40x-x ^ 2＆= 375 \\ x ^ 2-40x + 375＆= 0 \\ x ^ 2-25x-15x + 375＆= 0\\ x（x-25）-15（x-25）＆= 0 \\（x-15）（x-25）＆= 0 \\ \ lightarrow x＆= 15，x = 25。结束\{对齐}$

因此，较小数目是 $15.$大一点的是 $25.$． $_\正方形$

两个连续的正整数的产物是90.他们的总和是多少？

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由于整数是连续的，我们可以将上面的表达式改写为 $n（n + 1）= 90$．这就得到了下面的二次方程 $n ^ 2 + n -90 = 0$．保理，我们可以看到，

$N²+ N -90 = (N -9)(N +10) =0$

这意味着 $n = 9$．这两个数是9和10，它们的和是19。 $_\正方形$

试试下面的问题：

有时候，二次公式可以解决更大程度的方程是有用的。

解决 $的x ^ {4} - 3×^ {2} + 1 = 0$．

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这等式是不是你想要的东西的因素。所以，你可以做替代 $u = x ^ {2}$．那么等式会读

$U ^ {2} - 3U + 1 = 0。$

我们可以用二次公式来解它

$U = {3 \pm \sqrt{5}}{2}。$

但我们还没有完成。我们想要的 $x$， 不是 $u$．自 $U = X ^ {2} = \压裂{3 \时\ SQRT {5}} {2}$，解决了方程 $x$给

$X = \时\ SQRT {\ dfrac {3 \时\ SQRT {5}} {2}}。\ _ \方$

本节包含对二次方程的杂项问题，以便您尝试，最终将提高您解决问题的问题。

• 多项式因式分解
• 完成广场
• 二次方程