二次判别

的判别二次多项式的 $\三角洲,$是多项式系数的函数，它提供了关于多项式根的性质的信息。通过计算判别式，可以区分二次多项式是有两个不同的实根，一个重复的实根，还是只有非实数复根。

给定一个二次多项式 $ax ^ 2 + bx + c = 0$与真正的系数 $a、b$而且 $c$而且 $\ neq 0$，多项式的判别式为

$δ= b \ ^ 2-4ac。\ _ \广场$

从<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-formula/" class="wiki_link" title="二次方程" target="_blank">二次方程，二次多项式的根 $Ax ^2 + bx + c$是由

$X = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}。$

现在，注意到判别式等于二次公式的平方根内的表达式。

由于二次公式给出了二次多项式的所有根，我们有以下情况:

• 如果 $\Delta > 0，$多项式有两个不同的实根;
• 如果 $\δ= 0,$那么多项式只有一个实根，也就是a重根；
• 如果 $\Delta < 0，$那么平方根内的表达式是负的并且根都是非实数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复杂的" target="_blank">复杂的的根源。

注意对于二次多项式 $Ax ^2 + bx + c，$如果 $b$可以写成 $2 b_0$( $b_0$也是整数)，则二次公式简化为:

$X =\frac {-b_0 \pm \sqrt{{b_0}^2 -ac}}{a}。$

我们经常表示 $大概{{b_0} \ ^ 2 - ac}$在上面的表达式as中 $\三角洲'$．

要计算二次方程的判别式，我们只需求表达式的值 $b ^ 2 - 4 ac$．

求这个二次方程的判别式 $x ^ 2 + 3 + 2$．

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因为二次多项式的判别式 $ax ^ 2 + bx + c = 0$,在那里 $a、b$而且 $c$都是实数 $\ neq 0$,是 $b ^ 2-4ac$，二次方程的判别式 $x ^ 2 + 3 + 2$是 $3 ^ 2 - 4 (1) (2) = 1$． $_ \广场$

注意:在这种情况下，二次多项式有两个实根。

求二次多项式的判别式 $9x^2 + 6x + 1 =0。$

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我们可以找到判别式 $\δ$如下:

$\Delta = b^2 - 4\ * a \ * c = 6^2 - 4\ * times9\ * 1 = 36 -36 = 0。\ _ \广场$

注意:在这种情况下，判别式等于零，意味着二次多项式有一个重根。

当判别式是时，我们有重根 $0.$

二次多项式有多少个实根 $4x^2 + 4x + 1$?

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因为二次方程的判别式 $ax ^ 2 + bx + c = 0$,在那里 $a、b$而且 $c$都是实数 $\ neq 0$,是 $b ^ 2-4ac$，二次方程的判别式 $4x^2 + 4x + 1$是 $4^2 - 4\times4 = 0$．这表明二次函数有一个重根。因此,有 $1$真正的根。 $_ \广场$

考虑到 $2x^2 +8x + k$有一个重根，值是多少 $k$?

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自 $\δ= 0$如果有一个重根，我们知道 $8^2 - 4(2)(k) = 0。$简化,我们得到

$64 = 8k \右tarrow k = 8k \\ _ \广场$

的价值 $k$做 $-x^2 -kx - 5 =0$真正的解决方案吗?

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我们知道只有当LHS上的二次方程有实根时才有实解，也就是当 $δ\ \组0$．自 $\Delta = k^2 - 4(-1)(-5) \geq 0$,我们有

$k^2 \geq 20 \Rightarrow k \leq -\sqrt{20} \text{or} k \geq \sqrt{20}。\ _ \广场$

如果二次多项式 $X ^2 + bx + c$这条水平线 $y = d$相交于一点，的值是多少 $d$?

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的价值 $x$对于其中的多项式与直线相交，我们将方程相等，得到

$\{对齐}开始x ^ 2 + bx + c & = d \ \ x ^ 2 + bx + (c - d) & = 0。结束\{对齐}$

如果正好有一个交点，那么这个二次方程正好有一个解。当判别式为零时，即。

$\Delta = b^2 - 4\cdot (c-d) = b^2 - 4c + 4d = 0。$

最后，我们解出 $d$获得 $D = c - \frac{b^2}{4}。\ _ \广场$

注意:这与计算抛物线顶点的公式一致。

在处理以下问题时要格外小心:

给定一个正整数 $米$，设二次方程 $x ^ 2 + mx + 5 m = 0$有两个不同的实根。的最小可能值是多少 $m ?$

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由于二次方程有两个不同的根，所以二次方程的判别式必须是正的。然后

$\开始{对齐}\δ= m ^ 2 - 4 \ cdot 5 m & > 0 \ \ m ^ 2-20m & > 0 \ \ m (m-20) & > 0猴\ \ < 0 \ \ mbox{或}\ m > 20。结束\{对齐}$

自 $米$肯定是这样的 $m > 20,$由于 $米$是整数，的最小值 $米$是 $21.\ _ \广场$

利用判别式，刻画二次多项式的根数 $X ^2 + X + c$作为 $c$各不相同。

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计算二次多项式的判别式，得到

$\Delta = 1^2 -4c = 1-4c。$

由上述利用判别符对根的刻画，我们得到:

• 如果 $1-4c > 0，$多项式有两个不同的实根。这发生的 $c < \压裂{1}{4}$．
• 如果 $1-4c = 0,$那么多项式有一个重根。这发生的 $c = \压裂{1}{4}$．
• 如果 $1 -4c < 0，$那么根都是非实数的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复杂的" target="_blank">复杂的的根源。这发生的 $c > \压裂{1}{4}$． $_ \广场$

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