佩尔方程是方程
在哪里 是非平方正整数和 都是整数。可以证明,该方程有无穷多个解,而且解很容易从一个解递归地生成基本的解决方案,即与的解 最小的正整数。
佩尔方程的解长期以来一直是数学家们感兴趣的问题,尤其是因为它们可以作为方程的近似值 :如果 然后是分数 是一个很好的近似吗
即使是很小的值 可以导致相当大的根本解决方案。例如,对于 正数最小的解 是
方程解的理论与<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continued-fractions/" class="wiki_link" title="持续的分数" target="_blank">持续的分数,并对代数数论中的一些思想作了简单的介绍。
给出了将方程的解组合成新解的一种非常有用的方法Brahmagupta的身份
Brahmagupta是印度数学家 他是最早研究佩尔方程的人之一。(著名的瑞士数学家<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/leonhard-euler/" class="wiki_link" title="欧拉" target="_blank">欧拉这个方程以 世纪英国数学家约翰·佩尔(John Pell),他错误地将佩尔同时代的布朗克勋爵(Lord Brouncker)发现的一种解法归功于他;不幸的是,尽管有证据表明,早在一千多年前,婆罗门笈多和其他人就对这个方程进行了研究,但这个名字却一直存在。)
Brahmagupta利用这个恒等式将两种解结合起来 和 把佩尔方程变成第三个解 .这种解决方案有时被称为作文的 和 .此外,“近解”通常可以组成解。
找到解决方案 .
请注意, .运用婆罗门笈多的同一性 给了
所以 ,然后除以 给了 .
这些数字 和 Brahmagupta的同一性似乎是凭空而来的,但事实上,当同一性以数字的乘积形式表达时,它们就很自然地出现了 .这是通过基本概念来最自然地表达的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/algebraic-number-theory/" class="wiki_link" title="代数数论" target="_blank">代数数论.
假设 是不可约多项式的根吗 有理数系数。然后规范的 ,表示 ,是根的乘积 . 如果 是一元的,这是 乘以常数项 ,在那里 的程度
如果 ,然后 ,所以 是多项式的根吗 .如果 不是平方,这是不可约的,和
现在我们 .然后 .注意到的系数 是梵笈多身份的表达;也就是解的组合 和 对应于相关表达式的乘积 和 .然后
所以梵笈多的身份说明了 是乘法.事实上,这在一般情况下是正确的,尽管证明需要一些先进的机器。
假设 .反复应用布拉马笈多恒等式,可以得到无穷级数的解 这个方程 ,在那里
这些解据说是生成的 .
注意,如果 ,然后 , 等等。的解决方案 对应于 .
假设佩尔方程有一个非平凡解 .让 为基本解,即具有最小可能正值的解 和 .那么正整数Pell方程的每一个解都是由 .
注意,实数 最小的数是否大于 这种形式的规范是 .假设 佩尔方程的另一个解是 ,让 .对一些人来说 ,
然后 能展开给吗 对于一些 .请注意, 非负的,因为 .自 是最小的,唯一的可能性是 和 .所以 由 .
为了了解证明的思想,假设 .通过检查,很明显根本的解决方案是 .还有其他的解吗 正整数满足 对于一些 .任何较大的解都可以被 生产一个更小的。例如,请注意 .所以
所以 如果重复除以 最终没有产生 ,它会产生一个更小的解,这将违反的最小值 .
前三个也是完全平方数的三角形数是什么?
回想一下 三角形数是 = .设这个等于 .两边同时乘以8,展开:
现在设置 得到 .如上所示,解由 ,前三个是 所以 .
, , 和预期的一样,都是正方形。
假设 不是正方形。无理数 有一个简单的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continued-fractions/" class="wiki_link" title="连分数" target="_blank">连分数扩张。要速记,请写
的连分式展开 ,减去<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/floor-function/" class="wiki_link" title="地板上" target="_blank">地板上,将剩下的倒数,然后重复:
这个过程会不断重复
条形图表明 无限重复,类似于重复的十进制数字条。
下面是关于的连分式展开的一些事实 ,没有证据。
(1)连分式展开式为 对于某些整数 .
(2) , .
(3) 是回文,即。 , 等。
(4) Pell方程总是有非平凡解。根本的解决办法是 (5)方程 有解决方案当且仅当 是奇怪的;在这种情况下,最小解是 .
特别地,事实(4)给出了一个算法来寻找任何Pell方程的基本解 .
的连分式展开 是 .自 的分子和分母是Pell方程的基本解
检查:
另一方面,的连分式展开 是 , ,所以基本解是分子和分母
和 给出了一个解决方案 .<!-- end-example -->