佩尔方程

佩尔方程是方程吗?

$X ^2-ny^2 = 1，$

在哪里 $n$是非平方正整数和 $x, y$都是整数。可以证明，该方程有无穷多个解，且解很容易由单个解递归生成基本的解决方案，即解 $x, y$尽可能小的正整数。

长期以来，佩尔方程的解一直是数学家们感兴趣的，不仅仅是因为它们的近似值 $\ sqrt {n}$:如果 $x ^ 2-ny ^ 2 = 1,$然后是分数 $\压裂xy$是一个好的近似吗 $\ sqrt {n}。$

即使很小的值 $n$可以得到基本的解决方案，这是相当大的。例如，对于 $N = 61$正电荷最小的解 $x$是 $(1766319049, 1766319049)。$

该方程的解理论与<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continued-fractions/" class="wiki_link" title="持续的分数" target="_blank">持续的分数，并对代数数论中的一些思想作了简单的介绍。

给出了将方程的解组合成新解的一种非常有用的方法Brahmagupta的身份

$(x²-ny²)(a²-nb²)= (xa+nyb)²-n (xb+ya)²。$

婆罗门笈多是一位印度数学家 $7 ^ \文本{th}$他是最早研究佩尔方程的人之一。著名的瑞士数学家<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/leonhard-euler/" class="wiki_link" title="欧拉" target="_blank">欧拉将这个方程命名为 $17 ^ \文本{th}$世纪英国数学家约翰·佩尔(John Pell)，他错误地将佩尔同时代的布朗克勋爵(Lord Brouncker)发现的一种解法归功于佩尔;不幸的是，尽管Brahmagupta和其他人在一千多年前就对这个方程进行了研究，但这个名字仍然存在。)

婆罗门笈多用这个同一性来结合两个解决方案 $(x, y)$和 $(a, b)$将Pell方程转化为第三种解 $(xa + nyb, xb +丫)$．这个解决方案有时被称为作文的 $(x, y)$和 $(a, b)$．此外，“接近解决方案”通常可以组成以产生解决方案。

找到解决办法 $X ^2-7y^2 = 1$．

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请注意, $3^2-7\cdot 1^2 = 2$．运用婆罗门笈多的身份 $(x,y) = (a,b) = (3,1)$给了

${对齐}\ \开始大(3 ^ 2 - 7日\ cdot 1 ^ 2 \大)、大(3 ^ 2 - 7日\ cdot 1 ^ 2 \大)& = \大(3(3)+ 7(1)(1)\大)^ 2 - 7日\大(3(1)+ 1(3)\大)^ 2 \ \ \ cdot 2 & = 16 ^ 2 - 7日\ cdot 6 ^ 2。结束\{对齐}$

所以 $16^2-7\cdot 6^2 = 4$，然后除以 $2 ^ 2$给了 $8^2-7\cdot 3^2 = 1$． $_ \广场$

这些数字 $xa + nyb$和 $xb +丫$在婆罗门笈多的身份中，它们似乎是凭空而来的，但事实上，当身份以形式的数的乘积来表达时，它们是很自然地出现的 $x + y \ sqrt {n}$．这是最自然的表达，通过一个概念从基本<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/algebraic-number-theory/" class="wiki_link" title="代数数论" target="_blank">代数数论．

假设 $\α$是一个不可约多项式的根吗 $f (T)$有有理系数。然后规范的 $\α$,表示 $N(\α)$的根的乘积 $f (T)$． $\大($如果 $f$这是monic吗 $(1) ^ k$乘以的常数项 $f$,在那里 $k$的程度 $f。\大)$

如果 $\alpha = x+y\sqrt{n}$,然后 $(\ -x)^2 = ny^2$,所以 $\α$是多项式的根吗 $T ^ 2-2xT + \大(x ^ 2-ny ^ 2 \大)$．如果 $n$不是平方，这是不可约的 $N(\α)= \大(x + y大概{N} \ \大)、大(x - y大概{N} \ \大)= x ^ 2-ny ^ 2。$

现在我们 $\beta = a+b\sqrt{n}$．然后 $\α、β= \大(x + y大概{n} \ \大)、大(a + b \ sqrt {n} \大)= (xa + nyb) + (xb +丫\√{n}$．注意系数 $\α、β$是婆罗门笈多身份的表达;也就是解的组合 $(x, y)$和 $(a, b)$对应于关联表达式的乘积 $x + y \ sqrt {n}$和 $a + b \ sqrt {n}$．然后

$N(\α)(\β)= \大(x ^ 2-ny ^ 2 \大)、大(^ 2-nb ^ 2 \大)= (xa + nyb) ^ 2 N (xb +丫)^ 2 = N(\α、β)。$

所以婆罗门笈多的身份说明 $x + y \ sqrt {n}$是乘法．事实上，这在一般情况下是正确的，尽管证明需要一些先进的机器。

假设 $x1 ^2-ny_1^2 = 1$．反复运用婆罗门笈多的恒等式，可以得到无穷级数的解 $(x_1,y_1) (x_2,y_2) (x_3,y_3) \ldots$对于这个方程 $X ^2-ny^2 = 1$,在那里

$xk \开始{对齐}& =间{k - 1} x_1 + ny_ {k - 1} y_1求和\ \ k & =间{k - 1} y_1 + y_ {k - 1} x_1。结束\{对齐}$

这些解被称为生成的 $(x_1 y_1)$．

注意，如果 $X_1 +y_1\sqrt{n} = \alpha$,然后 $X_2 +y_2\sqrt{n} = \alpha^2$， $X_3 +y_3\sqrt{n} = \alpha^3$等等。的解决方案 $求和(xk, k)$对应于 $\alpha^k = x_k+y_k\sqrt{n}$．

假设Pell方程有一个非平凡解 $n$．让 $(x, y)$为基本解，即具有最小可能的正值的解 $x$和 $y$．那么Pell方程的每一个正整数解都由 $(x, y)$．

注意实数 $\alpha = x+y\sqrt{n}$最小的数是否大于 $1$这种形式的范数是 $1$．假设 $(a, b)$是Pell方程的另一个解 $a、b > 0$，让 $\beta = a+b\sqrt{n}$．对一些人来说 $K \ge 1$，

$\alpha^k \le \beta < \alpha^{k+1}。$

然后 $γ= \ \压裂{\β}{\α^ k} = \大(a + b \ sqrt {n} \大)、大(x - y大概{n} \ \大)^ k$可以展开给予吗 $\gamma = c+d\sqrt{n}$对于一些 $c, d$．请注意, $c, d$是非负的，因为 $1 \ \gamma < \alpha$．自 $\α$是最小的，唯一的可能性是 $\gamma = 1$和 $\beta = \alpha^k$．所以 $(a, b)$是由 $(x, y)$． $_ \广场$

为了看证明的思想是如何运作的，我们假设 $N = 2$．通过检查，很明显，基本的解决方案是 $(2)$．其他的解吗? $(a, b)$在正整数中满足 $A +b\sqrt{2} = \big(3+2\sqrt{2}\big)^k$对于一些 $k$．任何更大的解都可以被重复除以 $3 + 2 \√{2}$生产一个小的。例如，请注意 $99^2-2\cdot 70^2 = 1$．所以

$\开始{对齐}\压裂{99 + 70 \ sqrt{2}}{3 + 2 \√{2}}& = \大大概{2}(99 + 70 \ \大)、大(大概{2}3 - 2 \ \大)= 17 + 12 \ sqrt{2} \ \ \压裂{17 + 12 \ sqrt{2}}{3 + 2 \√{2}}& = \大(17 + 12 \ sqrt{2} \大)、大(大概{2}3 - 2 \ \大)= 3 + 2 \ sqrt{2} \{对齐}结束$

所以 $99+70\sqrt{2} = \big(3+2\sqrt{2}\big)^3$如果重复除以 $3 + 2 \√{2}$并没有最终产生 $3 + 2 \√{2}$，它会产生一个更小的解，这将违背最小值 $(2)$．

前3个也是完全平方数的三角数是什么?

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回想一下 $n ^ \文本{th}$三角数为 $T_ {n}识别$= $\压裂{n (n + 1)} {2}$．将它设为 $x ^ {2}$．现在两边同时乘以8展开:

$开始\{对齐}4 n ^ 2 + 4 n & = 8 x ^ 2 \ \ 4 n ^ 2 + 4 n + 1 & = 8 x ^ 2 + 1 \ \ (2 n + 1) ^ 2-8x ^ 2 & = 1。结束\{对齐}$

现在设置 $U = 2n+1 v = 2x$得到 $U ^2-2v^2 = 1$．如上所示，解决方案由 $(2)$，前三个是 $(u,v) = (3,2)， (17,12)， (99,70)，$所以 $(n,x) = (1,1)， (8,6)， (49,35)$．

$T_1 = 1$， $T_8 = 36$, $T_{49} = 1225$和预期的一样都是正方形。 $_ \广场$

假设 $n$不是正方形。无理数 $\ sqrt {n}$有一个简单的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continued-fractions/" class="wiki_link" title="连分数" target="_blank">连分数扩张。要速记，可以这样写

$a_1 + \ frac1 {a₂+ \ frac1 {a_3 + \ frac1 {\ ddots}}} = [a₁,a₂、a_3 \ ldots]。$

导出的连分式展开式 $\ sqrt {3}$，减去<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/floor-function/" class="wiki_link" title="地板上" target="_blank">地板上，把剩下的倒过来，然后重复:

$\开始{对齐}\ sqrt{3} & = 1 +大\ \√{3}1 \大)\ \ & = 1 + \ frac2 {\ sqrt {3} + 1} \ \ & = 1 + \ frac1{\水平间距{1.5毫米}\压裂{\ sqrt{3} + 1} 2 \水平间距{1.5毫米 } } \\ &= 1 + \ frac1{1 + \压裂{\ sqrt {3} 1} 2} \ \ & = 1 + \ frac1 {1 + \ frac1 {\ sqrt {3} + 1}} \ \ & = 1 + \ frac1 {1 + \ frac1{2 +大\ \√{3}1 \大)}},{对齐}\结束$

这个过程会不断重复

$\ sqrt {3} = 1 + \ frac1 {1 + \ frac1 {2 + \ frac1 {1 + \ frac1 {2 + \ frac1 {\ ddots}}}}} =[1, 1、2、1、2、\ ldots] =[1 \眉题{1 2}]。$

$（$条形图表明 $1、2、$无限重复，类似于在重复的十进制数字上的条。 $）$

这里有一些关于的连分式展开式的事实 $\ sqrt {n}$，没有证据。

(1)连分式展开式为 $[a_0 \眉题{a_1,, \ ldots a_k}]$对于某些整数 $ai$．
（2） $A_0 = \lfloor \sqrt{n} \rfloor$, $A_k = 2a_0$．
(3) $a_1,, \ ldots现代{k - 1}$是回文，即。 $A_1 = a_{k-1}$， $A_2 = a_{k-2}$等。
(4) Pell方程总是有非平凡解。最根本的解决办法是 $\压裂{x} {y} = \{病例}开始(a_1, a_0 \ ldots现代{k - 1}] & \{如果}k \文本{甚至}\ \ [a_1, a_0 \ ldots现代{2 k - 1}] & \文本{如果}k \文本{是奇数}。\{病例}结束$(5)方程 $x ^ 2-ny ^ 2 = 1$当且仅当有解 $k$是奇怪的;在这种情况下，最小解是 $(a_1, a_0 \ ldots现代{k - 1}]$．

特别是，事实(4)给出了一种算法，可以找到任意Pell方程的基本解 $n$．

的连分式展开 $\ sqrt {21}$是 $[4 \眉题{1 1 2 1 1 8}]$．自 $K = 6$， Pell方程的基本解是

$\开始{对齐}[4 1 1 2 1 1]& = 4 + \ frac1 {1 + \ frac1 {1 + \ frac1 {2 + \ frac1 {1 + \ frac11 }}}} \\ &= 4 + 1 + \ \ frac1 {frac1 {1 + \ frac1{\水平间距{1.5毫米}\ frac52 \水平间距{1.5毫米 } } }} \\ &= 4 + \ frac1 {1 + \ frac1{\水平间距{1.5毫米}\ frac75 \水平间距{1.5毫米}}}\ \ & = 4 + \ frac1{\水平间距{1.5毫米}\压裂{12}7 \水平间距{1.5毫米 } } \\ &= \ 压裂{55}{12}。结束\{对齐}$

检查: $55^2-21(12)^2 = 1。$

另一方面，的连分式展开 $\ sqrt {13}$是 $[3 \眉题{1 1 1 1 6}]$, $k = 5$的分子和分母是基本解

$[3,1,1,1,1,1,6,1,1,1,1,1] = \frac{649}{180}。$

和 $\frac{x}{y} = [3,1,1,1,1,1] = \frac{18}{5}$给出一个解决方案 $X ^2-13y^2 = -1$．<！-- end-example -->