勾股定理

的勾股定理声明如果三角形有一个正确的角度然后，称为斜边的最长侧的平方等于两个较短的两侧的长度的平方和称为腿部。因此，如果 $一个$ 和 $b$ 腿的长度，和 $c$ 那是斜边的长度，然后是 $a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$ ．

定理是几何学的基本组成部分，在物理学和其他现实世界中有许多应用。它也是基础距离公式在坐标几何中。

定理的悔改也是如此：如果 $a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$ ，然后是一个有边长的三角形 $a, b, c$ 会是一个直角三角形，两边长度之间有直角吗 $一个$ 和 $b$ ．相反的一个例子是在施工中:为了测量给定不同长度的绳子的直角，测量员可以使用长度为3,4,5 (a毕达哥拉斯的三倍)做一个三角形。这两条短边之间的角是直角。

例子

给定一个直角三角形，边长分别为5和12，斜边的长度是多少?

由毕达哥拉斯定理， $5 ^ 2 + 12 ^ 2 = h ^ 2$ ,所以 $h ^ 2 = 169$ ,这意味着 $h = 13$ ．因此，斜边的长度是 $13$ ． $_ \广场$

下面是一个使用距离公式的例子:

两点之间的距离是多少 $a =（2,3）$ 和 $B = (6, 11) ?$

让点 $C = (6,3)$ ,我们有 $三角形ABC \$ 用边长 $\ overline {ac} = 4$ 和 $\ overline {bc} = 8$ ．进一步，因为 $交流$ 和 $公元前$ 平行于 $y$ - 和 $x$ ，它们是垂直的，并形成一个直角三角形的腿 $AB$ 作为斜边。

然后，通过毕达哥拉斯定理，我们有 $\ overline {ac} ^ 2 + \ overline {bc} ^ 2 = \ ovline {ab} ^ 2$ ，这给了我们 $4 ^ 2 + 8 ^ 2 = 16 + 64 = 80 = \ ovline {ab} ^ 2$ ．所以 $\ overline {ab} = \ sqrt {80} = 4 \ sqrt {5}$ ． $_ \广场$

有关此技术的完整讨论，请参阅距离公式．

是三角形 $XYZ.$ 一个直角三角形吗?

6-7-9三角形

如果 $XYZ.$ 是一个正确的三角形，那么侧面长度将遵循这种关系 $A ^2 + b^2 = c^2$ ,在那里 $c$ 是最长的边。然而, $6^2 + 7^2 = 85 \not = 9^2 = 81$ ．所以 $XYZ.$ 不是直角三角形。 $_ \广场$

给定一个边长分别为5、12和14的三角形，如何对三角形中最大的角进行分类?

$\四$ a）右
$\四$ b）急性
$\四$ C)迟钝的
$\四$ d）没有足够的信息

根据勾股定理，我们知道边长为5,12和13的三角形是直角三角形 $5^2 + 12^2 = 13^2$ ．因此，这个三角形不可能是直角三角形。

此外，由于直角三角形的最长边大于等边斜边，即。 $14> 13.$ ，我们知道将那个侧面的角度也必须更大。因此，角度是钝角，答案是c）。 $_ \广场$

仅有的

[1]

［2］

和

[３]

[1]

，

［2］

，和

[３]

没有一个是正确的

有一个直角三角形，它的边是整数。阅读以下关于这个三角形的陈述:

$[1]$ 这个三角形至少有一条边能被整除 $3.$ ．
$［2］$ 这个三角形至少有一条边能被整除 $4$ ．
$[３]$ 这个三角形至少有一条边能被整除 $5$ ．

哪些陈述是（是）正确的？

请注意：此问题是此集合的一部分。

a + b + c

\压裂{\ sqrt {3}} {3} (a + b + c)

^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2-a-b-c

\ sqrt {ab + bc + ac}

\√6 {a ^ 2 + ^ 2 + c ^ 2}

abc \ sqrt [3] {}

\ sqrt [3] {^ 3 ^ 3 + + b c ^ 3}

\压裂{A ^ 2} {B ^ 2 + C ^ 2} + \压裂{B ^ 2} {A ^ 2 + C ^ 2} + \压裂{C ^ 2} {A ^ 2 + B ^ 2}

$o，x，y，z$ 是三维笛卡尔空间上的四个点，在哪里 $O$ 原点, $X$ 一点上 $x$ 设在, $Y$ 一点上 $y$ 设在, $Z$ 一点上 $z$ 设在。

现在，地区 $\三角形氧$ 是由 $一个$ ，地区 $三角牡蛎$ 通过 $b$ 的面积 $\三角形OXZ$ 通过 $c$ ．

求 $三角形XYZ.$ 而言, $a, b, c$ ．

毕达哥拉斯的三元组

命令的三元组正整数 $(a, b, c)$ 这样 $a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$ 叫做毕达哥拉斯三星．有无穷多个这样的三元组 $\ text {gcd}（a，b，c）= 1$ ，有一个简单的参数化这些毕达哥拉斯三元组产生它们所有。这是一个非平凡非线性的基本例子丢番图方程．费马试图通过研究解来推广这个方程 $a ^ n + b ^ n = c ^ n$ 导致了他著名的“最后的定理。”有关此主题的更多信息，请参阅Wiki毕达哥拉斯三星．

三角恒等式

基本三角恒等式是勾股定理的结果。例如，在一个有边的直角三角形中 $a, b, c,$ 为角度定义三角函数 $\θ$ 相反 $一个$ 通过

$罪\ \θ= \压裂{一}{c}, \ \ cosθ= \ \压裂{b} {c}。$

所以

$罪\开始{对齐}\ ^ 2 \ \ cosθ+ ^ 2 \θ& = \压裂{^ 2}{c ^ 2} + \压裂{b ^ 2} {c ^ 2} \ \ & = \压裂{b ^ ^ 2 + 2} {c ^ 2} \ \ & = \压裂{c ^ 2} {c ^ 2} = 1。结束\{对齐}$

有关这个和其他相关标识的更多信息，请参阅毕达哥兰身份．

定理证明

有关毕达哥拉斯定理的其他证明，请参阅：毕达哥拉斯定理的证据．

有许多独特的证明(超过350)勾股定理，包括代数和几何。下面的证明有助于其清晰度，被称为重排证明。

在直角三角形中，两条边的平方和等于斜边的平方。

给予任何右三角形 $一个$ 和 $b$ 和斜边 $c,$ 用侧面制作一场广场 $A + B.$ 将给定的三角形复制四份，如下图所示:

这在中心的中心形成了一个正方形 $c$ 因此是一个区域 $C ^ 2。$

然而，如果我们把四个三角形重新排列如下，我们可以看到两个正方形在更大的正方形里面，一个是 $A ^ 2.$ 在面积和一个是 $B ^ 2.$ 在面积:

由于两种情况下，较大的正方形是相同的，即，即 $(a + b) ^ 2$ ，并且由于两种三角形在这两种情况下都是相同的，因此我们必须得出结论是两个方块 $A ^ 2.$ 和 $B ^ 2.$ 事实上，在广场的地区相同 $C ^ 2$ ．

因此, $A ^2 + b^2 = c^2。$ $_ \广场$

毕达哥拉斯定理的反面是一种特殊情况余弦规律：

如果三角形的侧面满足 $A ^2 + b^2 = c^2$ ，然后是对角 $c$ 是直角。

让 $\角度acb = \ theta$ ；然后根据余弦法则

$\ cosθ= \ \压裂{a ^ 2 + ^ 2 - c ^ 2} {2 ab} = \压裂{0}{2 ab} = 0。$

自从 $0 ^ circ \leq \theta \leq 180 ^ circ$ ，唯一的解决办法是 $\ theta = 90 ^ \ circ$ ． $_ \广场$

测试

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内容

给定一个直角三角形，边长分别为5和12，斜边的长度是多少?

给定一个边长分别为5、12和14的三角形，如何对三角形中最大的角进行分类?

如果三角形的侧面满足 一个 2 + b 2 ＝ c 2 A ^2 + b^2 = c^2 一个2+b2＝c2，然后是对角 c c c是直角。

如果三角形的侧面满足 $A ^2 + b^2 = c^2$ ，然后是对角 $c$ 是直角。