托勒密定理

托勒密定理表示一个循环四边形的对角线和边之间的关系。它是解决切分四边形问题的有力工具。

托勒密定理

如果一个四边形画在一个圆上，那么四边形对角线长度的乘积等于对角线长度的乘积的和:

$AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC。$ $\水平间距{1.5厘米}$

我们来证明这个定理。

让 $ABCD$一个随机的四边形内接在一个圆上。

这个命题将被证明 $AC\cdot BD = AB\cdot CD + AD\cdot BC。$

从圆周角很容易看出 $\角ABD = \角ACD， \角BDA= \角BCA，$而且 $\角度BAC = \角度BDC。$

让 $E$成为一个点 $交流$这样 $\角EBC = \角ABD = \角ACD$然后自 $角EBC =角ABD$而且 $\角BCA= \角BDA，$

$\三角形EBC \约\三角形ABD \Longleftrightarrow {CB}{DB} = \dfrac{CE}{AD} \Longleftrightarrow AD\cdot CB = DB\cdot CE。\ qquad (1)$

请注意, $\角ABD = \角EBC \长左右角ABD + \角KBE = \角EBC + \角KBE \右右角ABE = \角CBK。$然后自 $\角度ABE= \角度CBK$而且 $\角度CAB= \角度CDB，$

$\三角形ABE \约\三角形BDC \Longleftrightarrow {AB}{DB} = \dfrac{AE}{CD} \Longleftrightarrow CD\cdot AB = DB\cdot AE。\ qquad (2)$

因此,从 $(1）$而且 $(2),$我们有

$\begin{aligned} AB \cdot CD + AD\cdot BC & = CE\cdot DB +AE \cdot DB \ & = (CE+AE)DB \\ & = CA\cdot DB。结束\{对齐}$

因此证明。 $_ \广场$

我们可以用托勒密定理来证明勾股定理:

证明在任何直角三角形中 $三角形ABC \$在哪里 $角A = 90^ circ，$ $Ab ^2 + ac ^2 = bc ^2。$

---

让 $ABDC$是一个随机的圆角矩形。 $$

$$

在矩形上应用托勒密定理，我们得到

$AD\cdot BC = AB\cdot DC + AC\cdot DB。$

但 $Ad = bc, ab = dc, ac = db$自 $ABDC$是一个长方形。因此,

$Bc ^2 = ab ^2 + ac ^2。\ _ \广场$

在一个四边形中，如果对角线的乘积等于对边的乘积之和，那么这个四边形就是可雕的．

给定一个四边形 $ABCD$，

$AC\cdot BD \leq AB\cdot CD + AD\cdot BC，$

当且仅当出现相等时 $ABCD$可题写的。 $_ \广场$

让 $我$是四边形内的一点 $ABCD$这样 $\角ABD = \角IBC$而且 $\角ADB = \角ICB$．

三角形 $ABD$类似于三角形 $IBC$,所以 $\frac{AB}{IB}=\frac{BD}{BC}=\frac{AD}{IC} \得到AD \cdot BC = BD \cdot IC$而且 $\压裂{AB} {BD} = \压裂{IB}{公元前}$．

这给了我们另一对相似三角形: $ABI$而且 $DBC$ $\暗示\frac{AI}{DC}=\frac{AB}{BD} \暗示AB \cdot CD = AI \cdot BD$．

把两个方程相加，

$AB\cdot CD + AD\cdot BC = BD \cdot (IA + IC) \geq BD \cdot AC。$

平等发生在 $我$躺在 $交流$,这意味着 $ABCD$可题写的。 $_ \广场$

另一种证明需要对的性质有基本的了解反演，尤其是那些与距离有关的。

假设一个半径为1的圆以 $一个$．让 $B, C ',$而且 $D '$是两个相反的点的合力 $B, C,$而且 $D$关于这个圆，分别。利用反演的距离性质，我们有

$\{对齐}开始AB & = \压裂{1}{AB "} \ \ CD & = \压裂{C会'}{AC ' \ cdot广告'}\ \广告& = \压裂{1}{广告'公元前}\ \ & = \压裂{B 'C '} {AB \ cdot AC的}\ \ AC & = \压裂{1}{AC '} \ \ BD & = \压裂{B会'}{AB“\ cdot广告”}。结束\{对齐}$

因此，托勒密不等式就变成

$\{对齐}开始AB \ cdot CD +广告\ cdot BC & \组的BD \ cdot AC \ \ \压裂{1}{AB "} \ cdot \压裂{C会”}{AC ' \ cdot广告'}+ \压裂{1}{广告”}\ cdot \压裂{B 'C '} {AB \ cdot AC的}& \组\压裂{1}{AC '} \ cdot \压裂{B会”}{AB“\ cdot广告”}\ \ \ \ C会”+ B 'C & \ B组会,结束\{对齐}$

这是通过三角不等式成立的。因此，托勒密不等式是正确的。从而证明。 $_ \广场$