命题逻辑
基本概念-定义
在命题逻辑一个语句(或命题)是由一个符号(或信),它与其他语句的关系通过一组符号(或)来定义连接词).这个陈述是用它来描述的真值这是真正的或假.
一个命题一个陈述,从整体上看,要么是对的,要么是错的。例如,一个命题可能是:
所有的大象都是绿色的。
与三段论逻辑不同,在命题逻辑中,这一命题是完整的,通常用一个符号来表示,我们只关心这一命题的真与假,而不关心这一命题中的个别条件。
在命题逻辑中,a命题按照惯例,用大写字母表示,通常是黑体。例如,上面的命题可以用字母来表示一个.
答:所有的大象都是绿色的。
每一个命题被分配一个真值的真正的或假.在其他领域(例如计算机)逻辑门),这些值由二进制表示形式给出 (真正的)和 (假)。
我们说 评估的命题 ,即返回其真值.
在命题逻辑中,命题之间的关系用连接词.
本质上有五种不同连接词概述如下表:
否定 | 不 | |
动词的词形变化 | 和 | |
析取 | 或 | |
有条件的 | 如果……然后 | |
双条件的 | 当且仅当 |
假设我们想说“如果下雨,杰克就不会走路上学了”
我们首先将这两个命题表示为命题的信:
- 一个:下雨
- B杰克不会走着去学校
然后我们用条件连接词来陈述。
一个 B
真值表概述
为了澄清一个命题或一个连接词的意思,用一个真值表使用。
真值表是一种形象化命题真值的方法。的值真正的表示为“1和值假表示为“0".
例如,考虑以下命题:
- 一个马蒂穿着绿色的靴子。
- B马蒂有一只狗。
- C:马蒂穿着绿色的靴子,马蒂有一只狗。
命题C具有下列真值:
- 如果马蒂不穿绿靴子也不养狗,那就求婚C是假.
- 如果马蒂不穿绿靴子却养了只狗,那就求婚C是假.
- 如果马蒂穿绿靴子却没养狗,那就求婚C是假.
- 如果马蒂穿绿靴子养狗,那就求婚C是真正的.
代表在一个真值表,我们用一行来表示上面的每一个陈述(包括马蒂穿着绿色靴子和/或有一只狗的所有可能组合),每一列代表上面的命题a、B和C的每个可能状态。
因此,下面的真值表代表了上述四个陈述:
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
连接词
连接词是表示命题之间关系的逻辑符号。
有五种基本连接词:
- 否定
- 结合
- 析取
- 有条件的
- 双条件的
下面将进一步描述这些概念。
否定是一个一元逻辑连接词。对于任何一个命题 的否定 ,表示 一个命题是否暗示了这一点 是假的。 也可以读作"not" .
的真值表(1=true, 0=false)表示否定:
P | P |
1 | 0 |
0 | 1 |
命题:
一个例如月亮是绿色奶酪做的。
是什么 ?
命题的否定一个,这个命题总是正确的,如果一个是假的,如果总是假的一个是真的。以下语句符合该标准:
一个月亮不是绿色奶酪做的。
逻辑连接是一个结合的二元逻辑连接,只有当它关联的两个命题都为真时,它才被评价为真。
共轭真值表如下:
P | 问 | P 问 |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
(1 =真,0 =假)
考虑一下下面的陈述:
大象是绿色的,乔治穿着红靴子。
这是什么类型的命题?
我们可以用命题字母来表示这些命题:
E字体大象是绿色的
G乔治穿红靴子。
然后,将上述语句改写为:
E G
这个命题是一个合取命题。
逻辑分离是一种结合的二元逻辑连接,如果它所关联的命题中的任何一个为真,它就被评价为真。请注意:这是析取的“包容”定义,不要与计算机逻辑中相当于“异或”门的“排他”形式混淆。
析取iis的真值表如下:
P | 问 | P 问 |
0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 |
(1 =真,0 =假)
考虑一下下面的陈述:
大象是绿色的,或者乔治穿着红色的靴子(或者两者都是)。
用命题逻辑重写这个。
我们可以用命题字母来表示这些命题:
E字体大象是绿色的
G乔治穿红靴子。
然后,将上述语句改写为:
E G
的逻辑条件相当于“如果A那么B”。如果结果与该陈述一致,则为真。唯一不一致的情况是当A为真时B为假。这与条件句相矛盾。所以定义如下:
这是对应的真值表
P | 问 | P 问 |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
(1 =真,0 =假)
假设我们有下列陈述(复合命题):
如果丽贝卡完成了作业,她就可以看网飞了。
这是一个逻辑条件吗?
这包括两个简单的命题,我们称之为P和问:
- P丽贝卡完成了她的家庭作业。
- 问:丽贝卡看Netflix。
然后,我们可以用条件连接词建立下面的条件句:
P 问
是的,这是一个逻辑条件。
双条件句是表示条件的连接词"当且仅当".
它检查两个命题的值是否为相同的真值。它也可以被认为是
这相当于XNOR逻辑门。
真值表是这样的:
P | 问 | P 问 |
0 | 0 | 1 |
0 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 1 |
(1 =真,0 =假)
这是什么类型的逻辑命题?:
如果下雨,我们就取消游行。
这相当于说。“如果下雨,我们就会取消游行,如果我们取消游行,那么就会下雨。”注意:这并不意味着因果关系。也就是说,这并不意味着因为我们取消了游行,所以下雨了。事实上,这只是意味着如果不下雨,我们一定会举行游行。
我们提出以下主张:
- P我们将取消游行。
- 问:下雨。
然后我们把复合命题写成:
所以它是一个双条件的。
勾股定理州
反过来说一起,我们就可以宣称
总之,这里有一个真值表,显示了所有连接词的功能:
P | 问 | P | P 问 | P 问 | P 问 | P 问 |
0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
形成良好的公式
到目前为止,我们已经讨论了以下几个简单命题:
- 一个
- 一个
- 一个 B
- 一个 B
- 一个 B
但是,我们可以通过组合上述的简单命题来构造更复杂的命题,从而构造出无穷多个形式良好的公式组合,例如:
- [(一个 B) C]
如果一个命题是由以下几组规则构成的,它就被称为“构造良好的公式”(或wff):
- 任何原子命题都是形成良好的公式。
- 如果 这是一个很好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 如果 和 那么,它们是形成良好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 如果 和 那么,它们是形成良好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 如果 和 那么,它们是形成良好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 如果 和 那么,它们是形成良好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 除非只使用上面的1-6来构造命题,否则命题就不是一个格式良好的公式。
重言式、矛盾和偶发
一个无谓的重复在逻辑上是正确的。举个例子“要么下雨,要么不下雨。”
形式上,我们说一个命题是无谓的重复如果它对所涉及的原子命题的所有可能的真值赋值都为真。
证明这个命题是a无谓的重复:
我们可以构造一个真值表来验证:
0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 如您所见,第5列和第7列包含了A、B和c的所有组合的相同项。因此, 的确是一个无谓的重复.
矛盾是一个在逻辑上是错误的陈述。举个例子“下雨了,又不下雨了。”
形式上,我们说一个命题是矛盾如果它对所涉及的原子命题的所有可能的真赋值为假。
重言式的否定无疑是一种否定矛盾.
因为,如上所述, 是一个无谓的重复,下面是a矛盾:
一个命题或有当且仅当它既不是a矛盾也不是一个无谓的重复.
偶然性的一个例子是
我们可以通过构造真值表看到这一点:
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
我们可以看到,由于第三列和第四列既不都匹配,也不都相互矛盾,这是一个偶然性的例子。即命题是否有效或有基于…的价值 和 .
逻辑等价
有效性和一致性
到目前为止,我们还没有做任何事来区分一个好的论点和一个糟糕的论点。
一个论点有两种可能出错的方式:
- 前提是错误的。
- 这个论点的逻辑结构是错误的。
因为,在命题逻辑中,我们不能做任何事来确定前提是否真的为真,我们用第二个想法来定义论点的有效性。
据说需要 当且仅当有无真相赋值 都是真的 是假的。
我们表示以下内容:
下面是另一种定义蕴涵的方法:
当且仅当 是一个同义反复。
到现在为止,读者应该很明显,一个论证是有效的当且仅当前提包含结论。
一组命题是不一致的如果它不能同时为真。否则,它是一致的.
一组命题 是不一致的当且仅当 是一个矛盾。
否则,它是一致的.
不一致的集合是
注意这个命题 和前后矛盾本身没有关系。然而,它毕竟是不一致集合的一部分。
命题逻辑的局限性
命题逻辑只是众多形式语言中的一种。论证的结构可能在从英语转换到命题逻辑的过程中丢失了。
命题逻辑的自然延伸是量化逻辑,也称为谓词逻辑或一阶逻辑。
想想下面这个著名的论点:
- 人皆有一死。
- 亚里士多德是人。
- 因此,亚里士多德是会死的。
让我们试着用命题逻辑来表示:
论点变得
虽然这显然是一个“合乎逻辑的”结论,但这是一个完全无效的论点命题逻辑自一个,B和C彼此没有关系。
注意,问题不在于论证的符号化。事实上,这是命题逻辑对这些命题所能提供的最好的符号化。由于这个原因,命题逻辑常被称为“零阶逻辑”,而量化逻辑被称为“一阶逻辑”,因为它根据语句的内容得出逻辑结论,如上例所示。