矩形的性质

一个矩形是一个有四个直角的平行四边形。矩形比一般情况下的平行四边形要容易处理得多。

a的基本定义矩形如下。

一个矩形是一个内角都相等的四边形。

因为a的内角之和多边形是 $360 ^ \保监会$，则每个内角都是直角。

属性1。矩形的每个内角都是 $90 ^ \保监会$．

因为内角的对角相等，所以所有的矩形都相等平行四边形，其属性适用于矩形:

属性2。矩形的对角线彼此平分。

财产3。矩形的对边平行。

性质4。矩形的对边相等。

属性5。边长为的矩形 $一个$而且 $b$面积 $A b \sin{90^\circ} = ab。$

财产6。边长为的矩形 $一个$而且 $b$有周长 $a + 2 b$．

最大的区域。假设一个矩形的周长固定在 $P$而是两边的长度 $x$而且 $P / 2 - x$都可以自由改变。有什么价值? $x$这个矩形的面积最大吗?

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该地区 $一个$矩形的大小是 $A = x (P/2 - x)$．的价值 $x$的 $一个$是最大的,我们完整的广场通过加上某个常数 $c$双方:

$A + c = px / 2 - x^2 + c。$

的选择 $c = P^2 / 16$允许我们将右边因式分解为完全平方:

$A + P^2 / 16 = -(x - P/4)^2，$

这就引出了

$A = P²/ 16 - (x - P/4)²。$

很明显，最大值 $- (x - P/4)^2$是零，那么最大值是多少 $P²/ 16 - (x - P/4)²$是 $P ^ 2/16$．这意味着 $x = P / 4$．换句话说，给定一个固定的总周长，当矩形的两边长度相等(各等于总周长的四分之一)时，矩形的面积是最大的。

因为每个内角都是直角，勾股定理允许计算对角线的长度。根据对称性，两条对角线的长度必须相等。

财产7。矩形每条对角线的长度，其边长为 $一个$而且 $b$是 $\√6 {b ^ ^ 2 + 2}。$

假设矩形的每条对角线都有长度 $D$而周长是 $P$．发现该地区 $一个$的矩形。

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让 $一个$而且 $b$是矩形的边长。然后

$\开始{对齐}^ 2 + b ^ 2 D & = ^ 2 \ \ a + b & = P / 2。结束\{对齐}$

对第二个方程平方得到

$a²+ 2ab + b²= P²/ 4。$

减去第一个方程，然后得到

$2ab = P²/ 4 - D²，$

或

$A = ab = \dfrac{P^2 - 4D^2}{8}。$

假设矩形的每条对角线都有长度 $D$而面积是 $一个$．找到周长 $P$的矩形。

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从我们上一个例子的结果中，我们有

$P²= 8a + 4d²，$

所以

$P = \√{8A + 4D^2}。$

财产8。矩形的两条对角线长度相等。

矩形 $ABCD$有长度 $AB = 3$而且 $公元前= 4$．长度是多少 $双相障碍$?

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使用财产7， $AC = \ sqrt {3 ^ 2 + 4 ^ 2} = \ sqrt {25} = 5$知道 $AC = BD$， $BD = \盒装{5}$

因为对角线的长度相等并且彼此平分，所以矩形的每个顶点到平分点的距离一定是等距的 $O$．由此可知存在一个外接圆通过 $O$它穿过矩形的四个顶点。

房地产9。让 $O$是矩形对角线的交点。存在一个圆心在 $O$它的半径等于对角线长度的一半。

财产10。矩形的每条对角线都是其周长的直径。

由圆弧和矩形包围的区域。矩形有边长的矩形 $一个$而且 $b$如图所示。确定深蓝色部分的面积。

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我们可以认为深蓝色区域等于弧内阴影区域的面积减去弧下但不属于深蓝色区域的矩形(三角形楔形)的四分之一。

深蓝色区域的弧线有一个角 $2 \θ$（ $\θ$中定义的弧度), $谭\{\θ}= a / b$．因此，弧下的面积由

$\πR ^ 2 \压裂{2 \θ}{2 \π}= \θ(a ^ 2 + ^ 2) / 4,$

在哪里 $R = \√{a^2 + b^2}/2$是圆的半径。最后，减去矩形面积的四分之一，得到的总面积为深蓝色

$左\压裂{1}{4}\ [(a ^ 2 + ^ 2) \反正切(a / b)——ab \]。$