等边三角形的性质

一个等边三角形它是一个三条边长度相等的三角形。他们是只有正多边形有三个方面，并出现在各种语境中，在两者中基本几何以及更高级的课题，如复数几何和几何不等式。 $$

辨认等边三角形最直接的方法是比较边长。如果三个边长相等，三角形的结构就确定了(结果SSS一致)．然而，这并不总是可能的。

另一个有用的标准是等边三角形的三个角也是相等的，因此是三个角 $60 ^{\保监会}$．由于对边相等的角本身也是相等的，这就意味着要找出两条相等的边 $60 ^{\保监会}$只要发现两个相等的角，就足以断定这个三角形是等边三角形 $60 ^{\保监会}$．

值得注意的是，等边三角形是一种唯一的多边形，它只需要知道一个边的长度就可以确定这个多边形的完整结构。例如，有无穷多个边长相等的四边形(菱形)，因此你至少需要知道另外一个属性来确定它的完整结构。用这种方法，等边三角形与圆和球是在一起的，其完整的结构是由只提供半径决定的。

因为等边三角形在某种意义上是最简单的多边形，许多典型的重要性质都很容易计算。例如，对于一个边长相等的三角形 $颜色\ {# D61F06}{年代}$，我们有以下几点:

• 每条边的高度、中值、角等分线和垂直等分线都是同一条线。
• 这三条线(每边一条)也是行对称三角形的。
• 上面提到的这三条线的长度都是一样的 $\ \压裂{年代sqrt {3}} {2}$．
• 等边三角形的面积是 $\压裂{s ^ 2 \√{3}}{4}$．
• 的垂心，外心，内心，重心和9分中心都是一样的。的欧拉线退化为一个点。
• 的外接圆半径等边三角形的 $\ \压裂{年代sqrt {3}} {3}$．注意这是 $\压裂{2}{3}$高度的长度，因为每个高度也是三角形的中值。
• 的内接圆半径等边三角形的 $\ \压裂{年代sqrt {3}} {6}$．注意内半径为 $\压裂{1}{3}$高度的长度，因为每个高度也是三角形的中值。内半径也是 $\压裂{1}{2}$圆周的长度。

同样值得注意的是，六个全等的等边三角形可以排列成正六边形，也使得正六边形的一些性质很容易被发现。例如，正六边形带边长的面积 $年代$仅仅是 $6 \ cdot \压裂{s ^ 2 \√{3}}{4}= \压裂{3 s ^ 2 \√{3}}{2}$．

首先，值得注意的是，外径是内径的两倍，这是重要的 $R \组的2 R$根据欧拉不等式。等边三角形提供了等号的情况，在更高级的情况下，如Erdos-Mordell不平等．

如果 $P$等边三角形内的任意一点，其到三条边的距离之和等于三角形的高度长度:

不管P的位置如何，这三个颜色长度的总和就是海拔高度的长度

等边三角形也是唯一一个边长和角都是合理的三角形(用度数来衡量)。

当内接在一个单位正方形内时，等边三角形的最大可能面积是 $2 \√3 {3}$，当三角形的方向为a时 $15 ^{\保监会}$角和有长度的边 $大概{6}\ \ sqrt {2}:$

两个蓝色的角都有度数 $15 ^{\保监会}$

同样值得注意的是，除了上图中的等边三角形，还有另外三个有面积的三角形 $X, Y$, $Z$ $（$与 $Z$最大的 $)．$它们满足这个关系 $2 X = 2 Z \意味着Y = X + Y = Z$．事实上, $X + Y = Z$是真实的任何由等边三角形外接的矩形，不论方向如何。

等边三角形在复杂平面中特别有用，因为它们的顶点 $a, b, c$满足的关系 $a + b + c \ω\ ^ 2 = 0,$在哪里 $\ω$是原始的第三种根的团结,这意味着 $\ω^ 3 = 1$和 $\ \ neqω1$．特别地，这允许一个简单的方法来确定最后一个顶点的位置，给定其余两个顶点的位置。

等边三角形的另一个性质是范·休顿定理:

如果 $美国广播公司$是等边三角形和 $米$弧线上有一个点吗 $公元前$三角形的外圆 $美国广播公司、$然后

$马= MB + MC。$

使用托勒密定理在环四边形上 $ABMC$,我们有

$MA\cdot BC= MB\cdot AC+MC\cdot AB$

或

$马= MB + MC。\ _ \广场$

下面是一个与坐标平面有关的例子。

证明平面上没有顶点为整数坐标的等边三角形。

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假设平面上有一个顶点为整数坐标的等边三角形。

面积的行列式是有理的，所以如果这三个点都是有理的，那么三角形的面积也是有理的。

另一方面，有边长的等边三角形的面积 $一个$是 $\ dfrac {^ 2 \ sqrt3} {4}$，这是不合理的，因为 $^ 2$为整数，且 $\ sqrt {3}$是无理数。

这是一个矛盾。 $_ \广场$

莫理定理说明相邻角三等分线的三个交点构成一个等边三角形(右边图片中的粉色三角形)。

事实上，这个定理推广了:剩余的交点决定了另外四个等边三角形。另外，这个定理的推广结果是总共有18个等边三角形。然而，第一条(如图所示)是目前为止最重要的。

拿破仑定理指出，如果等边三角形竖立在任何三角形的边上，那三个三角形的中心本身就构成一个等边三角形。

如果三角形是向外竖立的，就像左边的图像一样，这个三角形被称为外拿破仑三角形。否则，如果三角形是向内竖立的，这个三角形就被称为内心的拿破仑三角形。这两个三角形的面积之差等于原三角形的面积。

内拿破仑三角形和外拿破仑三角形共享同一个中心，也就是重心原来的三角形。

• 等腰三角形的性质