射影几何

立方体:在透视图中绘制的立方体，激发了射影几何

射影几何的扩展(或简化，取决于观点)欧几里德几何，其中没有距离或角度测量的概念。直观地说，射影几何可以理解为只有点和线;换句话说，虽然欧几里得几何可以被非正式地视为研究直尺和罗盘结构，射影几何可以看作是对直尺只结构。

令人惊讶的是，尽管最初是在艺术的背景下构思的，射影几何在欧几里得几何中有重要的应用。例如，结果如Desargues”，冠毛的,帕斯卡定理是射影几何的结果，但对“正常”几何也很感兴趣;这是由于欧几里得平面可以自然地扩展为投射平面。射影几何在避免特定构型的边缘情况时也很有用，特别是平行线(在射影几何中，没有平行线)。

一个射影平面是由一组点、一组线和的属性定义的发病率满足三个特性:

1. 对于任意两点，它们之间都有一条直线。
2. 对于任意两条直线，它们之间恰好有一个点。
3. 存在四个点，因此没有一条直线与其中两个以上的点相交。

最后一个条件不是严格必要的;它的存在只是为了排除堕落的情况。这是有用的，但是，为了避免不得不手动检查几个退化的情况一遍又一遍;因此，一般认为这是为了方便。

第二个条件有一个重要的结果:

没有平行线在射影平面上。

此外，第一个条件和第二个条件非常相似，不同的只是“点”和“线”的交换。这形成了定义关联属性背后的动机:它显示了二元性点与线之间。

投影平面最简单(也是最常用)的例子是扩展欧几里得平面，这是一个普通的欧几里得平面，它有两个额外的属性:

• 每组平行线都有一个附加的点，附加在这些线上。这一点是其中之一无穷远点．
• 的无穷远处的直线在无穷远处的每一点都是偶发的，而且只偶发于这些点。

可以验证，这将导致一个射影平面。由于这个射影平面与欧几里得平面相似(因此这个射影平面的性质通常在欧几里得平面中也是正确的)，它通常被称为的射影平面。

投影平面不一定是无限的。例如，3阶的射影平面包含13行13点。更一般地说，是有序的投影平面 $n$包含 $n ^ 2 + n + 1$分和 $n ^ 2 + n + 1$直线，这样每个点都与之相关联 $n + 1$线和每条线都是相关联的 $n + 1$点。值得注意的是，这为以下问题提供了解决方案组合问题:

最大数量是多少 $n$-element集合使得任意两个集合共用一个元素，并且没有元素出现在每个集合中?

每一个 $n$-element set可以解释为一个点与之相交的线的集合。

由于射影平面是由一组点和一组线定义的，所以等价的定义来自于交换这两者。正式地说，二元性 $\ρ$是点到线和线到点的映射，具有if $P$是偶然的 $\ l形的$,然后 $\魔法^ \ρ$是偶然的 $P ^{\ρ}$．最简单的例子是定义中的前两个属性:

1. 对于任意两点，它们之间都有一条直线。
2. 对于任意两条直线，它们之间恰好有一个点。

更一般地说，这意味着射影平面的任何性质都等价于双财产的双射影平面．扩展的欧氏平面是自对偶，即扩展欧几里得平面的对偶就是扩展欧几里得平面本身，因此扩展欧几里得平面的任何性质都可以通过对偶性转化为附加的性质。例如,

切瓦定理而且斯巴达王的定理在扩展的欧几里得平面中是对偶的，因此是“等价的”(意思是证明一个足以证明另一个)。除去简并的情况(其中两个定理中的三角形都是简并的)，这意味着Ceva的和Menelaus的在“正规”欧几里得平面上也是等价的。

虽然有非自对偶的射影平面，但它们的构造有些困难，而扩展的欧几里得平面的最自然的扩展是任意的场也是自对偶的。

一个极性射影平面的对偶性是退化，这意味着对偶性是它自己的逆(或者，等效地，应用对偶性两次会得到原始平面)。的概念是一个重要的例子反演，定义如下:在欧几里得平面上，固定一个圆 $O$半径为 $r$．对于每一点 $P$，定义图像的 $P$成为重点 $人事处$这样 $OP \cdot OQ=r^2$．映射 $P \右tarrow Q$是一个反演平面的。

现在定义一个对偶性如下:为每一行 $\ l形的$在飞机没有经过的时候 $O$,让 $P$垂直于 $O$来 $P$，让 $问$成为 $P$在平面反转下。然后地图 $\ l形的$来 $问$．对偶性还需要点到线的映射，所以类似的定义是:对于任何点 $P \neq O$在平面上， $P$映射到直线通过 $问$ $($图像 $P)$垂直于 $人事处$．由于这需要推广到投影平面(扩展的欧几里得平面)，还需要满足两个条件:

• $O$映射到无穷远处的直线上。
• 一条贯穿的线 $O$与边坡 $米$映射到无穷远处的点与这类带斜率的平行线相关 $m - \压裂{1}{}。$

这个映射，从 $P$到极地的 $P$从 $\ l形的$到极*的 $\ l形的$，定义极性(这相对容易验证)。这一特殊的极性有许多性质，但最重要和最普遍的事实是:

$P$位于…的极 $问$当且仅当 $问$位于…的极 $P$．同样, $P$躺在杆子上 $\ l形的$当且仅当的极点 $\ l形的$位于…的极 $P$．

更一般地，附加极性可以通过将反转的定义扩展到任意来定义圆锥曲线论．

虽然射影几何本身是有用的，但它在欧几里得几何中也有重要的应用。在前面的一节中，我们对此有所了解切瓦定理而且斯巴达王的定理是等价的。其他结果包括:

Desargues的定理

两个三角形在轴向角度当且仅当他们在中央的角度来看．轴向透视的意思是，对于三角形 $美国广播公司$而且 $美国广播公司$， $AB \cap AB$， $BC \cap BC$, $CA \cap CA$是共线的．中心视角意味着 $Aa、Bb、Cc$所有这些都在一点上一致。

这个定理可以直观地理解为关于艺术的定理;更具体地说，关于透视图:

有趣的是，这个结果在所有投影平面，例如在一些有限的9阶投影平面中。尽管如此，它在大多数情况下都是成立的在扩展的欧几里得平面上也是如此。值得注意的是，这个定理的“iff”部分很容易从上面讨论的对偶原理中得出结论，因此证明任何一个方向都足以证明定理。

另一个重要定理如下:

帕斯卡定理

让 $A b c d e f$在任何圆锥曲线(通常是圆)上都是6个点。然后 $AB \cap DE, BC \cap EF, CD \cap FA$共线。

帕斯卡定理即使在圆锥曲线上的点数小于6的情况下，通过考虑一些点相等的简并情况，也通常有用。在这种情况下，一行像 $BB$也就是圆的切线在 $B$．同样值得注意的是，帕斯卡定理有一个反面:如果 $AB \cap DE, BC \cap EF, CD \cap FA$是共线的吗 $A b c d e f$躺在某个圆锥曲线上。这并不一定是非常有用的信息，但如果已知有五个点位于圆锥曲线上，那么第六个点也必须是这样(因为五个点决定一个圆锥曲线)。因此，帕斯卡定理的逆可用于表示某圆上的点，特别是与退化策略结合使用时。

给定一个三角形 $三角形ABC \$还有一点 $米$，一条穿过的线 $米$相交 $AB,公元前$而且 $CA$在 $c₁,A_1,$而且 $B_1$,分别。行 $点,BM,$而且 $厘米$的圆周相交 $三角形ABC \$一半在 $, B_2,$而且 $c₂$．证明这些线 $A_1A_2 B_1B_2,$而且 $C_1C_2$相交于属于圆周的一点 $三角形ABC \$．

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让 $A_1A_2$的圆周相交 $美国广播公司$第二次在 $X$，让 $XB_2 \cap AC = B_1'$．根据帕斯卡定理 $ACBB_2XA_2$ $($因为这六个点都在一个圆上，这个圆是 $美国广播公司),$我们得到了 $AC \cap B_2X=B_1'， CB \cap XA_2=A_1，$而且 $BB_2 \cap A_2A=M$共线。但是，既然 $B_1的$躺在 $A_1M$也 $交流$，我们一定有 $B_1'=A_1M \cup AC = B_1$．所以 $X b_1 b_2$共线，相似吗 $X c_1 c_2$共线，那么 $X$是 $A_1a_2 b_1b_2 c_1c_2$按要求在圆上。 $_ \广场$

这个定理的射影对偶也很重要:

Brianchon定理

让 $六边形ABCDEF$是一个以圆弧(通常是圆)为边界的六边形。然后 $Ad, be, cf$在某一点上一致。布里安尚定理的图解

• 反演
• 帕斯卡二次曲线定理
• Desargues的定理