乘法法则

乘积法则对于求导函数的乘积是有用的。

对于任何函数 $u$和 $v$，

$\压裂紫外线= u \ d {} {dx}压裂{d} {dx} v + \压裂{d} {dx}。$

或者，用拉格朗日符号，

$(uv) ' = u + v 'u学。$

我们首先回顾一下差异化的定义:

$d \压裂{}{dx} f (x) = \ lim_ {h \ rightarrow0} \压裂{f (x + h) - f (x)} {h}。$

因此,我们有

$\开始{对齐}\ dfrac {d} {dx}(紫外线)& = \ displaystyle \ lim_ h \ {0} \ dfrac {u (x + h) v (x + h) - u (x) v (x)} {h} \ \ & = \ displaystyle \ lim_ h \ {0} \ dfrac {u (x + h) v (x + h) - u (x + h) v (x) + u (x + h) v (x) - u (x) (x)} {h} \ \ & = \ displaystyle \ lim_ h \{0} \离开[u (x + h) \ dfrac {v (x + h) - v (x)} {h} + v (x) \ dfrac {u (x + h) - u (x)} {h} \右]\ \ & = \ displaystyle \ lim_ h \ {0} u (x + h) \ cdot \ displaystyle \ lim_ {h \0} \ dfrac {v (x + h) - v (x)} {h} + v (x) \ cdot \ displaystyle \ lim_ h \ {0} \ dfrac {u (x + h) - u (x)} {h} \ \ & = u \ dfrac {dv} {dx} + v \ dfrac {du} {dx}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

乘积法则也适用于多个变量的乘积。例如,

$\压裂{d} {dx} uvw紫外线\压裂{d} = {dx} w + uw \压裂大众\ d {} {dx} v +压裂{d} {dx} u,$

或者用拉格朗日符号

$(uvw)' = uvw' +uwv' + vwu'。$

是什么 $d \压裂{}{dx} x e x ^ ?$

---

应用乘积法则 $u = x$和 $v = e x ^$，我们知道

$d \压裂{}{dx} e ^ x = x \压裂{d} {dx} e ^ x + e ^ \压裂{d} {dx} x = x \ * e ^ x + e x ^ \ * 1 = x (x + 1) e ^。$

因此, ${d}{dx} x e^x = (x+1) e^x$． $_ \广场$

求导数

$F (x) = x^2\sin x。$

---

自 $(x ^ 2) ' = 2 x$和 $(sin x)' = cos x，$

$f (x) = (2 x) (\ sin (x)) + (\ cos (x) (x ^ 2) = 2 x \ sin (x) + x ^ 2 \ cos x。\ _ \广场$

是什么 ${d}{dx} c f(x)?$

---

我们可以把这看作是积分的一个基本性质。应用乘积法则 $u = c$和 $v = f (x)$，我们知道

$d \压裂{}{dx} c f (x) = c \压裂{d} {dx} f (x) + f (x) \压裂{d} {dx} c = c f (x) + f (x) \ * 0 = c f (x)。$

因此, ${f(x) = c f'(x)$． $_ \广场$

有些函数可能需要结合使用微分规则，比如下面这个:

如果你有一些困难，你可能想要复习链式法则．