概率-乘积法则

的规则的产品是一个指导原则，说明什么时候概率可以相乘产生另一个有意义的概率。具体来说，用乘积法则求事件交集的概率:

让 $一个$而且 $B$是独立事件．然后,

$P (A \帽)= P (A) \乘以P (B)$

一个六面均匀骰子滚动两次。两次掷的结果都是6的概率是多少?

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重要的是要建立每个模辊是独立的。即如果第一次掷骰子结果为6，则不影响第二次掷骰子结果为6的概率。

对于单个掷骰子，掷到6的概率是 $\ dfrac {1} {6}$．

实际上，这个问题要求 $P(\text{第一卷是6}\cap\text{第二卷是6})$．

利用乘积法则，得到:

$\ dfrac {1} {6} \ * \ dfrac {1} {6} = \ dfrac {1} {36}$．

两个骰子滚动的概率都是6 $\盒装{\ dfrac {1} {36}}$．

乘积法则的一个重要要求是事件是独立的。如果要计算交集的概率依赖事件，然后一个不同的方法涉及条件概率将是必要的。

凯文已经 $5$不同的关系, $6$不同的衬衫, $4$他的衣柜里有不同的裤子。在这些衣服中，卡尔文只有一条绿色领带，一件灰色衬衫和一条黑色裤子。如果卡尔文随机选择每一件衣服，那么他穿绿领带、灰衬衫和黑裤子的概率是多少?

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有一个 $\ dfrac {1} {5}$卡尔文随机选择绿色领带的概率，a $\ dfrac {1} {6}$他随机选择灰色衬衫的概率，和 $\ dfrac {1} {4}$他随机选择黑色裤子的概率。

这些事件是独立的;领带的选择不影响衬衫的选择，以此类推。

因此，他选择绿色领带，灰色衬衫和黑色裤子的概率是 $\ dfrac {1} {5} \ * \ dfrac {1} {6} \ * \ dfrac{1}{4} = \盒装{\ dfrac {1} {120}}$．

从糖果城堡到巧克力森林有5条可能的路线(红、蓝、绿、黄、紫)，从巧克力森林到冰淇淋小屋有3条路线(粉色、白色、橙色)，如果每条路线都是随机选择的，你从糖果城堡经过紫色和橙色的道路到达冰淇淋小屋的概率是多少?

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有一个 $\ dfrac {1} {5}$选择紫色道路的机会，有一个 $\ dfrac {1} {3}$选择橙色路径的概率。选择去巧克力森林的路与选择去冰淇淋小屋的路是独立的。

根据乘积法则，有一个 $\ dfrac {1} {5} \ * \ dfrac{1}{3} = \盒装{\ dfrac {1} {15}}$选择紫橙色路径的概率。

当事件相互依赖时，计算这些事件交集的概率可能更具挑战性。这个计算需要一个知识条件概率．

让 $一个$而且 $B$是相关的事件。然后,

$P(A\cap B)=P(A)\乘以P(B\mid A)$

一只小虫子站在下图的五边形四面体的最顶端。

每隔10秒，虫子随机选择一个相邻边，并沿着它移动到另一个顶点。30秒后虫子在底部顶点的概率是多少?

图片来源:Mouagip

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在前10秒内，虫子有5条相邻的边可以选择，但它选择哪一条并不重要，因为它们都会让它更接近底部。bug在最初10秒后接近底部的概率是 $1$．

在接下来的10秒内，虫子有3条相邻的边可供选择。两条边让他更接近底部。在这10秒后，bug接近底部的概率是 $\ dfrac {2} {3}$．

假设小虫子在前10秒之后靠近了，那么小虫子在最后10秒有3条相邻的边可以选择。其中一条边会把虫子带到底部。假设bug之前移动正确，那么bug在最后10秒后沉到底部的概率是 $\ dfrac {1} {3}$．

使用依赖事件的乘积规则，bug在30秒后降到底部的概率是 $1 \ \ dfrac {2} {3} \ * \ dfrac{1}{3} = \盒装{\ dfrac {2} {9}}$

规则的产品

规则的总和