概率 - 独立事件
概率,两个活动是独立如果一个事件的发生不会影响其他事件的概率。如果一个事件的发生率举行影响其他事件的概率,则事件是依赖。
有红色6边公平模和蓝色6边骰子。两个骰子在同一时间推出。让我们 是甚至是红色死亡的结果。让我们 是蓝色模具的结果是奇数的事件。活动是独立的吗?
考虑在红色骰子上掷出偶数是否会影响蓝色骰子掷出奇数。红色骰子的结果对蓝色骰子的结果没有影响。同样,蓝色骰子的结果不会影响红色骰子的结果。
不管是否 发生与否。
不管是否 发生与否。
因此,事件是独立的。
确定事件的独立性很重要,因为它会通知是否应用产品规则计算概率。计算使用产品的规则概率是相当简单,只要事件你的工作与独立。相关事件的概率计算可以更有挑战性,那么简单。因此,考虑事件是否是独立的或没有,因为它影响的解决问题的方法是很重要的。
识别独立和依赖事件
引言中的示例展示了明确独立的事件。但是,它有时会挑战识别事件是否是独立的。考虑以下示例:
袋子里有3个绿色的弹珠和5个蓝色的弹珠。随机从袋子里抽出两颗弹珠。让我们 要绘制的第一个大理石是绿色的事件。让我们 是第一个绘制的是蓝色的活动。活动是独立的吗?
案例1: 发生
当绘制的第一个大理石是绿色的,有 在包里留下的大理石,和 他们的是蓝色的。在这种情况下, 。
案例2.: 不会发生
当第一个弹珠是蓝色的时候,就有 在包里留下的大理石,和 他们的是蓝色的。在这种情况下, 。
的发病率 影响 。因此,这些事件不是独立的。换句话说,他们是依赖。
在前面的例子中,第一大理石画影响,这弹珠留在囊中。每当事件发生顺序,以及事件的发生会影响下一个事件的样本空间,事件将依赖。
事件不一定要按顺序发生才能相互依赖。考虑一下这个例子:
比赛中有12匹马。奈奎斯特和夸张是其中两个马。每匹马都有平等的获胜机会。让我们 是奈奎斯特赢得了比赛的情况下,让 是夸张赢得比赛的活动。活动是独立的吗?
案例1: 发生
如果奈奎斯特赢得比赛,那么夸张不能赢得比赛。在这种情况下, 。
案例2.: 不会发生
如果奈奎斯特没有赢得比赛,那就有 其他的马可能可能赢得比赛,每个获奖的机会均等。夸张者是那些一匹马,所以 。
的发病率 影响 。因此,事件依赖。
在尝试确定事件是否依赖或独立时,请考虑一个事件的发生程度如何影响另一个事件的概率。如果概率受到影响,则事件取决于。如果对概率没有影响,则事件是独立的。
条件概率和独立事件
的概念有条件的概率是密切相关的独立事件的概念。你可能会注意到,以前的一些例子可以用条件概率来重述。例如,在大理石的例子中,可以说, 和 。
随着条件概率的理解,独立和相关事件的定义可以重述:
两个事件 和 是独立如果:
和
两个事件 和 是依赖如果:
或
注意: 和 是补充的 和 , 分别。
由于依赖事件的性质,有一些结果可能是令人惊讶的。有时,事件是措辞,使他们似乎并不相关。然而,进一步的分析表明存在一些依赖性,这对概率有影响。
一对夫妇有两个孩子。鉴于其中一个孩子是男孩,这两个人都是男孩的概率是多少?
假设当一个孩子出生后,它拥有的是一个男孩或女孩的平等机会。
对这个问题的一个常见错误是假设有一个孩子是男孩,其他孩子只是有一个 成为一个男孩的机会。然而,该解决方案忽略了如何定义条件概率,并且还忽略了问题中描述的事件的依赖性。实际解决方案更令人惊讶。
让我们 是本实验的示例空间。让我们 代表一个男孩 代表一个女孩,出生的顺序很重要。 。
让我们 是一个孩子都是男孩的活动。 。
让我们 是一个孩子是男孩的事件。
。
样品空间是均匀的,所以
因此,这两个孩子都是男孩因为一个孩子是男孩的概率 。
这种解决方案似乎是不直观的,但可以用现实世界的证据证明它。如果你找到了许多家庭,那么两个孩子至少有一个孩子是一个男孩,那么大致 这些家庭中有两个男孩。
这个结果是那么令人惊讶的部分原因是,事件 和 是依赖的。 , 所以 。一个孩子的知识是一个男孩对患有两个孩子是男孩的可能性有巨大的影响。
两个以上的活动的相互独立
让我们 那 , 是事件,并让他们成为互相独立。也就是说,每对事件都是独立的: 和 是独立的, 和 是独立的, 和 是独立的。这是否意味着 那 , 是相互独立的?不幸的是,两个以上的事件的相互独立性具有更严格的要求:
给定一组两个以上的事件,事件集是相互独立如果每个事件都与每个事件无关路口其他事件。
如果甚至不满意一个独立性,那么这组事件是相互依赖。
两个公平的6面骰子滚动,一个红色和一个蓝色。让我们 是红色死亡结果的事件是3.让 是蓝色骰子结果为4的事件。让我们 如果滚动的总和是7。是 那 , 相互独立的?
和 。因此, 和 是独立的。
和 。因此, 和 是独立的。
和 。因此, 和 是独立的。
上述事件是两两独立。然而,为了让所有三个事件是相互独立的,每个事件必须是独立的,与其他事件中的每个交叉点。
和
这些都不是平等的,所以 那 , 是相互依存的。
在前面的例子中,人们可能怀疑某些腥味的事件正在进行中 同时涉及掷骰。鉴于此,我们通常会怀疑找到一个事件是独立的 。事实证明,这是巧合,这些对事件满足独立性的定义。
这种相互独立的定义与之相关产品规则,因为产品规则需要独立的事件。在前面的例子中,如果我们(错误地)试图获取 通过产品规则,我们获得 。然而,事件的交叉点的正确概率 。
下面的定理有时会作为一个“健全检查”,以确保您正确地运用独立的原则有用:
一系列事件 如果对于每个事件子集,这些事件的交叉点的概率等于这些事件的概率的概率是相互独立的
独立随机变量
两个随机变量 和 被称为独立如果,对于任何结果 和 那
更一般地,收集 任意结果的随机变量称为独立变量 那
注意: 是一系列的交点象征, 是一系列产品的符号。
作为这种定义的应用,可以表明这一点 如果 和 是独立的随机变量。这是非常有用的;期望的线性意思 不管是否 和 是独立的或相关的,但一般
如果 和 是独立的随机变量,然后 。
假设 呈现值 和 呈现值 。通过期望的定义,
自 和 是独立的, 它如此