包含与排除的概率原理

的包含和排除的概率原理(简称PPIE)是一种计算事件并集概率的方法。对于两个事件，PPIE等价于求和概率规则：

让 $一个$和 $B$是事件。这些事件合并的概率是:

$P(一杯\ B) = P (A) + P (B) - P (A \帽)$

PPIE与The密切相关集合理论中的包含与排除原理．事件并集的概率公式与集合并集的大小公式非常相似。

两个事件的PPIE等价于求和概率规则．

从一副标准牌中抽出一张牌。抽到的是q或红桃的概率是多少?

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让 $一个$当事件牌是皇后时，让 $B$如果牌是红桃。然后 $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$因为这副牌有13种不同的等级， $P(A) = \frac{1}{13}，$既然一副牌里有4套花色， $P (B) = \压裂{1}{4}。$只有一张牌既是王后又是红桃，所以 $P(A \cap B) = = frac{1}{52}。$因此,

$P(一杯\ B) = \压裂{1}{4}+ \压裂{1}{13}- \压裂{1}{52}= \压裂{16}{52}= \盒装{\ dfrac{4}{13}}。$

当事件独立的,规则的产品可以用来求事件的交集概率。然后，利用求和规则求出这些事件的并集概率。

掷出一个公平的6面骰子和一个公平的8面骰子。一个骰子掷出6的概率是多少?

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让 $一个$是6面的骰子等于6的事件。 $P (A) = \ dfrac {1} {6}$．

让 $B$当8面骰子是6时。 $P (B) = \ dfrac {1} {8}$．

事件是独立的，根据乘积法则， $P (A \帽)= \ dfrac {1} {6} \ * \ dfrac {1} {8} = \ dfrac {1} {48}$．

根据求和规则， $P(一杯\ B) = \ dfrac {1} {6} + \ dfrac {1} {8} - \ dfrac {1} {48} = \ dfrac {13} {48}$

每个骰子掷出的概率都是6 $\盒装{\ dfrac {13} {48}}$．

当这三个事件是独立的，这些事件的并集概率可以用补充的概率和规则的产品：

给定三个独立事件 $一个$， $B$, $C$，这些事件结合的概率为:

$P(一杯\ B \杯C) = 1 - P (C ^) P (B C ^) ^ (C C)$

一个公平的六面骰子掷三次。让 $一个$当第一次掷出1时，让 $B$当第二次掷到3时，让 $C$当第三次掷到3时。是什么 $P(一杯\ B \杯C)$？

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P (A) = $\ dfrac {1} {6}$,所以 $P (c ^) = \ dfrac {5} {6}$．

P (B) = $\ dfrac {1} {6}$,所以 $P (B ^ c) = \ dfrac {5} {6}$．

P (C) = $\ dfrac {1} {6}$,所以 $P (C ^ C) = \ dfrac {5} {6}$．

这些事件是独立的，因此可以使用上式:

$P(一杯\ B \杯C) = 1 - \离开(\ dfrac{5}{6} \右)^ 3 = \盒装{\ dfrac {91} {216}}$

当事件是相关的，那么每个事件交集的概率必须是已知的或计算的。则事件并集的概率可由下式计算:

给定三个相关事件 $一个$， $B$, $C$，这些事件结合的概率为:

$P(一杯\ B \杯C) = P (A) + P (B) + P (C) - P(\帽B) - P(\帽C) - P (B \帽C) + P C B \ \帽帽)$

当事件是独立的时，这些事件的并集的概率可以使用补充的概率乘积法则:

如果 $\ {A_1, \点,an \}$为相互独立事件的集合，则这些事件并集的概率为:

$左(\ \大P \ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ {n} {ai} \右)= 1 - \刺激\ limits_ {i = 1} ^ {n} {P (ai ^ c)}$

这个身份是德摩根定律．

当事件是依赖的时，对于任意数量的事件，PPIE的一般形式涉及添加或减去事件的交集:

如果 $\ {A_1, an \} \点$是一组相关事件，则这些事件并集的概率为:

$左(\ \大P \ bigcup \ limits_ {i = 1} ^ {n} {ai} \右)= \ \ limits_总和{k = 1} ^ {n} (1) ^ {k + 1} \左总和(\ \ limits_ le i_1 < {1 \ \ le n} P点< i_k \ \离开(现代{i_1} \帽\点\帽现代{i_k} \) \右)$

让 $一个$， $B$， $C$, $D$是成对的依赖事件。这些事件并集的概率公式是什么?

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根据上面的一般公式，这是:

$开始\ P{数组}{你}(一杯\ B \杯C \杯D) = & P (A) + P (B) + P (C) + P (D ) \\ & -\ P (A \帽)- P(\帽C) - P(\帽D) - P (B \帽C) - P (B \帽D) - P (C \帽D ) \\ & +\ P (B \ \帽帽C) + P (B \ \帽帽D) + P (C \ \帽帽D) + P (B \帽C \帽D ) \\ & -\ P (C \ B \ \帽帽帽D) \{数组}结束$