预测系统行为

预测系统行为是分析的目标<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/signals-and-systems/" class="wiki_link" title="信号和系统" target="_blank">信号和系统．我们希望能够预测系统在任何输入下的长期表现。具体来说,分析离散时间,<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-time-invariant-systems/" class="wiki_link" title="线性时间不变系统" target="_blank">线性时间不变系统(LTI系统)是该方法的一个重要应用，因为它在诸如<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/rc-circuits-dc/" class="wiki_link" title="电路" target="_blank">电路现代系统设计。因此，在这个维基中，我们将关注LTI系统并预测它们的行为。

可以以简单的术语用于有限输入来描述系统。输出的长期行为可以增加或减少，并且它可以具有常数标志或交替标志。例如，随着交替标志随时间逐渐减小的系统将具有如下所示的图形表示：

输出随时间呈交替符号递减的系统

该图可以表示地板上的弹簧，在某些时候锚定。如果将弹簧拉出来靠在锚定（正方向）并放手左右，它将通过向锚杆（负方向）移动左侧来响应。但是，它将失去一些势头，因为它继续围绕其锚振荡，每次都会越来越遥远。最终，它将在锚点停止。

从Wiki召回<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/linear-time-invariant-systems/" class="wiki_link" title="线性时间不变系统" target="_blank">线性时间不变系统所有的系统都可以用一个多项式系统函数来描述 $R \ mathcal {} ^ n$空间。例如，将前一个时间步长的输入加到信号上的系统将有这个方程

$Y = X + mathcal{R}X。$

这与<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/signals-and-systems/" class="wiki_link" title="差分方程式" target="_blank">差分方程式

$y [n] = x [n] + y [n-1]。$

在这两种情况下，真正的意思是延迟需要有任何希望预测系统会做什么。在这一课程中，通常假设所有系统在休息时开始，或者在时间0之前的系统的所有输入和输出值等于0。这是该系统的行为如何运行，给出了单位脉冲函数输入信号：

$\ begin {对齐} y [0] = x [0] + y [-1] = 1 + 0＆= 1 \\ y [1] = x [1] + y [0] = 0 + 1＆= 1\\ y [2] = x [2] + y [1] = 0 + 1＆= 1. \结束{对齐}$

这种趋势还在继续，这个系统的价值是总是1起从现在直到时间结束。鉴于该系统只有小跳跃开始，这有点令人惊讶。这个系统是执着的因为输出中存在无限数量的非零样本。一种短暂的系统在输出中将有有限数量的非零样本。

操作方程式， $y = x + mathcal {r} x$，可以重写为

$y = \ frac {1} {1 - \ mathcal {r}} x。$

这是一个很重要等式，因为它会在处理延迟时一直升级。需要更好地描述这一点的方法，并将其与前馈系统进行比较有帮助。考虑以下两个几何系列：

$\ begin {对齐} s＆= 1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + \ cdots \\ sx＆= x + x ^ 2 + x ^ 3 + x ^ 4 + \ cdots。\结束{对齐}$

如果我们用第二个方程减去第一个方程，我们得到

$s - sx = s（1 - x）= 1，$

和

${1 - x} = 1 + x + x^2 + x^3 + cdots。$

该方法可以应用于系统， $O.$,在那里

$O = 1 + mathcal{R} + mathcal{R}^2 + cdots，$

哪个叶子

$\ frac {1} {1 - mathcal {r}} = 1 + \ mathcal {r} + \ mathcal {r} ^ 2 + \ cdots。$

试着想象<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/signals-and-systems/" class="wiki_link" title="框图" target="_blank">框图描述系统 $O.$．尝试在看答案之前在一张纸上画画。

显示答案

$O.$是一个有趣的系统，具有无限数量的馈电路径。每个后续的前馈路径具有一个额外的延迟（具有没有延迟的第一路径）。所有路径的输出之前都有一个加法器。它看起来像这样：

系统 $O.$，无限的大型馈送循环

一阶系统是简单的系统，它为预测系统行为提供了一个简单的介绍。一阶系统是一个系统功能只存在于 $R \ mathcal {} ^ n$空间 $n = 1$．也就是说，它只涉及 $\ mathcal {r}$条款,而不是 $R \ mathcal {} ^ 2$或更高版本。

您可能会想知道零阶系统。零阶系统的另一个名称是什么？

显示答案

零阶系统也可能被称为a前馈系统因为有零延迟。这些系统很容易理解，因为对于任何具有有限数量非零样本的信号，它将产生具有有限数量非零样本的输出。

要了解我们如何预测一阶系统，让我们看一下简单的框图。

一旦你找到了这个框图对应的系统函数，我们就可以使用我们找到的变换<一种target="_blank" rel="nofollow" href="#delay">以上要使系统功能：

$\压裂{Y} {X} = 1 + c \ mathcal {R} + c ^ 2 \ mathcal} {R ^ 2 + \ cdots。$

输出信号是按比例放大的延时输入信号的和。说 $C$= 1.5。然后

$\ frac {y} {x} = 1 + 1.5 \ mathcal {r} + 2.25 \ mathcal {r} + \ cdots。$

换句话说，随着时间的推移，系统会越来越多地增长 $（$因为 $1.5 n ^$生长为 $N.$生长 $）.$事实上，这些系统都可以用杆，几何序列的基础。在该示例中，杆为1.5。极点的值描述了系统如何随时间行为。

的价值极确定系统的行为。

杆的价值， $p_0 \ hspace {10mm}$	系统行为(模式)
$p_0 \ lt -1$	产量增加到 $\ infty.$和标志交替。
$-1 \ lt p_0 \ lt 0$	输出幅度朝向0和标志交替减小。
$0 \ lt p_0 \ lt 1$	输出幅度单调朝向0减小。
$1 \ lt p_0$	产量增加到 $\ infty.$单调。

这些行为被称为模式．对于固定极，只有一种模式用于一阶系统。但是，更复杂的系统可以显示多个模式。

二阶系统具有系统函数，其分母是二阶 $（$意思是两者都有 $\ mathcal {r}$和 $R \ mathcal {} ^ 2$价值 $）.$用于理解二阶系统的一个有用工具正在将它们分解为一阶系统的集合。请记住，我们可以这样做，因为LTI系统具有LTI系统的组合本身的重要属性。

采取以下二阶LTI系统：

二阶系统

该系统可以由以下系统功能表示：

$\ frac {y} {x} = h = \ frac {1} {1 -0.2 \ mathcal {r} -0.24 \ mathcal {r} ^ 2}。$

我们有几种方法可以将此系统分为一阶系统：

Un-cascade它

我们可以把这个系统看成a级联两个一阶系统。两个系统的级联就是把一个系统放在另一个系统之后。第一个系统的输出成为下一个系统的输入。这里的目标是找到 $H_1.$和 $H_2.$这样 $h_1h_2 = h.$．因此，我们需要考虑我们以前的系统功能的分母：

$H = \压裂{1}{(1 - 0.6 \ mathcal {R}) (1 + 0.4 \ mathcal {R})}。$

所以，现在我们有 $h_1 = \ frac {1} {（1 -0.6 \ mathcal {r}）}$和 $h_2 = \ frac {1} {（1 + 0.4 \ mathcal {r}）}$．换句话说，它是两个系统，一个极点为0.6，另一个极点为-0.4。新的系统图是这样的:

两级一阶系统的级联

添加剂分解

我们也可以把二阶系统分解成和两个一阶系统。请注意,汇总两个系统与级联它们不同．这里的目标是找到 $H_1.$和 $H_2.$这样 $h_1 + h_2 = h$．这个过程用途<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/partial-fractions/" class="wiki_link" title="部分分数" target="_blank">部分分数分解。

我们有了因式系统函数 $h = \ frac {1} {（1 - 0.6 \ mathcal {r}）（1 + 0.4 \ mathcal {r}）}$为了进行分解，我们有

$H = \压裂{一}{(1 - 0.6 \ mathcal {R})} + \压裂{B} {(1 + 0.4 \ mathcal {R})}。$

我们需要解决 $一种$和 $B：$

${对齐}\ \开始压裂{1}{(1 - 0.6 \ mathcal {R}) (1 + 0.4 \ mathcal {R})} & = \压裂{一}{(1 - 0.6 \ mathcal {R})} + \压裂{1}{(1 + 0.4 \ mathcal {R})} \ \ 1 & = (1 + 0.4 \ mathcal {R}) + B (1 - 0.6 \ mathcal {R }) \\ &= ( A + B) + (0.4 - 0.6 B) \ mathcal {R}。\结束{对齐}$

现在我们需要使方程两边的幂相等的项相等 $\ mathcal {r}$， 所以

$\begin{align} 1 &= A + B \\ 0 &= 0.4A - 0.6B。\结束{对齐}$

替代给予

$b = 0.4，\ qquad a = 0.6，$

这意味着我们现在有 $H = h_1 + h_2，$在哪里

$h_1 = \ frac {0.6} {（1 - 0.6 \ mathcal {r}）}，\ qquad h_2 = \ frac {0.4} {（1 + 0.4 \ mathcal {r}）}。$

这个框图有点难弄。但这是一个<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/signals-and-systems/" class="wiki_link" title="前馈系统" target="_blank">前馈系统有两个反馈子系统。每个子系统的分子中的术语 $H_1.$和 $H_2.$在反馈后显示为增益。

添加剂分解后的框图

与一阶系统不同，该系统具有两极。所以，预测其行为并不直接。一方面，顶部系统有0.6作为杆，底部系统具有-0.4作为杆。它们都导致系统随着时间的推移降低其输出幅度，但应该是标志交替或保持单调？

主导极点决定了系统随时间所做的。

对于任何 $n ^ \ text {th}$- 系统，主导杆子杆是最大的杆。

对于我们的系统，优势极点是0.6。这个系统将单调地降低它的输出幅度。

在里面<一种target="_blank" rel="nofollow" href="#second-order-systems">上一节，我们评估了一个可以被考虑的系统<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数" target="_blank">实数．那是什么时候会发生什么？

想象一个像这样的系统函数:

$H = \压裂{2 + 2 \ mathcal {R}} {1 + 2 \ mathcal {R} + 4 \ mathcal {R} ^ 2}。$

要分解分母给我们

$h = \ frac {2 + 2 \ mathcal {r}} {\ big（1 - （-1 + \ sqrt {-3}）\ mathcal {r} \ big）\ big（1 - （-1 - \ sqrt{-3}）\ mathcal {r} \ big）}。$

我们有<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/complex-numbers/" class="wiki_link" title="复杂的" target="_blank">复杂的波兰人。波兰 $-1 + 1.732J$和 $-1 - 1.732J$．这不是一个罕见的发生。差分方程可以描述现实世界中的系统，而不在没有任何复杂的术语。但是，它们仍然可以有复杂的杆子。例如，描述该等式的差异方程是

$Y [n] = 2x [n] + 2x [n-1] - 2y [n-1] - 4Y [n-2]。$

要使用这些复数，我们将它们转化为<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/polar-coordinates-complex-numbers/" class="wiki_link" title="极坐标" target="_blank">极坐标．所以， $A + BJ.$成为 $Re ^ {j \ omega}$,在那里

${begin{aligned} a &= r\cos\ b &= r\sin\\结束{对齐}$

大小 $R.$是 $\ sqrt {a ^ 2 + b ^ 2}$，角度 $\ omega.$是 $\ tan ^ { - 1}（b，a）$．

复杂的杆子产生复杂的模式。所以，虽然真正的杆子可能会给我们

$\ frac {1} {1 - p \ mathcal {r}} = 1 + p \ mathcal {r} + p ^ 2 \ mathcal {r} ^ 2 + \ cdots，$

一个复杂的杆子会给我们

$\ frac {1} {1 - re ^ {j \ oomega}} = 1 + r ^ 2e ^ {j \ oomega} \ mathcal {r} + r ^ 3e ^ {j \ oomega} \ mathcal {r} ^ 2+ \ cdots。$

这是怎么回事 $N.$倾向于无限？如果你想到的话 $p ^ n$作为复平面上的一点，更容易形象化。随着时间的推移，这个点的半径会随着 $r ^ n.$增加或减少。角度 $\ omega.$将改变，但它不会影响半径幅度，它将围绕平面的原点旋转它。所以每一个 $p ^ n$将旋转 $\ omega.$．我们所说的期这个信号 $\ frac {2 \ pi} {\ omega}$因为完成一个完整圆圈所需的样本数量。

复模态例子^[1]

因为复数总是成对出现，它们的虚部总是相互抵消。这样我们就能算出一个实数的差分方程，这样我们就能理解这个方程组了。考虑一个有极点的系统 $Re ^ {j \ omega}$和 $再保险^{我\ω}$以便

$H = \压裂{1}{\大(1 - re ^ {jω\}\大)、大(1 - re ^{ω- j \} \大)}。$

乘以分母，我们得到

$1 - r \ big（e ^ {j \ omega} + e ^ { - j \ oomega} \ big）\ mathcal {r} + r ^ 2e ^ {j \ oomega - j \ oomega} \ mathcal {r} ^2。$

记住这一点 $E ^ {JX} = J \ SIN（n）+ \ cos（x）$这等于

$大(1 - r \ \因为\ω+ jω\罪\ \ cos(-ω\)+ j \罪大)(-ω\)\ \ mathcal {r} + r ^ 2 \ mathcal} {r ^ 2,$

而且因为 $\ sin（-x）= - \ sin（x）$和 $\ cos（-x）= \ cos（x）$，这个等于

$1 - 2r \ cos \ oomega \ mathcal {r} + r ^ 2 \ mathcal {r} ^ 2。$

复杂的部分互相取消，因为 $\ sin（-x）= - \ sin（x）$．这很好，因为现在我们可以写出一个差分方程来帮助我们理解这个系统的行为:

$y[n] = x[n] + 2r\cos\ ω y[n-1] - r^2y[n-2]。$

但我们如何理解我们的系统如何表现如何？对于差异方程 $y [n] = r ^ n（\ cos n \ omega + \ alpha \ sin n \ omega）$，我们知道系统不能小于 $- \ sqrt {1 + \ alpha ^ 2}$或大于 $\ sqrt {1 + \ alpha ^ 2}$．这些都是界限我们的输出信号。 $R.$提供重要的线索。 $R.$决定了系统下降的速度。最后, $\ omega.$将决定边界之间的振荡频率。

在以下图形中，红色和绿色线条是系统的界限。 $R.$决定系统腐烂的速度有多快， $\ omega.$决定了振荡的时期 $\ frac {2 \ pi} {\ omega}$．

复杂杆系统的系统输出^[1]

1. BJ，R.6.01 2016年春季．从2016年6月21日检索，来自<一种href="http://sicp-s4.mit.edu/6.01/spring16/reference/notes/sigsys">http://sicp-s4.mit.edu/6.01/spring16/reference/notes/sigsys.