谓词逻辑
为什么命题逻辑是不够的?
谓词逻辑优于命题逻辑,以至于它能够以正式的意义捕获多个参数的结构,所谓的逻辑不能。
我们将用一个例子来说明这一点。
考虑以下着名的论点:
- 人皆有一死。
- 亚里士多德是一个男人。
- 因此,亚里士多德是凡人。
让我们尝试在命题逻辑中象征这一点:
争论变成了
这是命题逻辑中的完全无效的参数,因为A,B和C与彼此没有关系。
注意,问题不在于论证的符号化。事实上,这是命题逻辑对这些命题所能提供的最好的符号化。
我们还没有展示谓词逻辑如何成功地证明论点的有效性;在后面的章节中,读者将更清楚地了解这一点。
谓词
谓词是数理逻辑中的一个基本概念。谓词表示与它的参数有关的类似类型的命题。
最简单的谓词是表示事物属性的谓词。
或者它可以有两个地方
或几个地方
谓词有一个参数,两个参数,或一般的 参数被称为monoadic,二元或n-adic分别地您可能会意识到谓词是关系
与上面遵循的惯例一样,通常习惯用大写字母表示谓词,变量参数用大写字母表示 和常数 .随后的讨论中,变量和常量的概念将更加清晰。
关于使用命题,我要做的一个重要评论是,命题的论点是单数术语,即与类或其代表相对的特定对象。
以下不是在谓词逻辑中形成命题的有效方法
符号化的关键
这是因为 指“狗”,它不只是一个特定的物体,而是整套狗。表达这些主张的正确方法是通过量词,我们下一步将对此进行探讨。
话语世界(见下文)中满足谓词的一组对象称为延期谓语的形式。扩展名为空集的谓词称为空谓词.
量词
谓词逻辑中的其他最重要的概念是概念量词,这就是为什么我们也叫它量化逻辑.量词给了我们表达包含整组对象的命题的能力,其中一些,列举它们,等等。
在我们更详细地讨论量词之前,我们必须先介绍量词的概念话语宇宙.话语宇宙(UD)是我们在提出正式命题时计划讨论的所有事物的集合。通常话语的宇宙是显而易见的,但当我们需要的时候,我们会在符号化的关键中使它显化。
的全称量词
通用量词让我们把谓词应用到全部的话语世界的成员。本质上,我们可以这样说每个人都很开心或所有数字都被1所分开.
它由符号表示 ,读对所有人
符号化的关键
- 乌德:所有人
- : 很开心
我们可以说 意味着每个人都很快乐
符号化的关键
- UD:
- :
我们可以说 意味着所有的自然数都可以被1整除。
一个聪明的读者可能会注意到通常的公约是说 .虽然这在结构上也相当于谓词逻辑,但我们将坚持我们自己的形式主义,而不是简写。
存在量词
存在量词保证被量化的谓词适用于至少有一个的成员名单。我们可以用它来表达这个房间里有人会跳舞或有一天的Agnishom会死
它由符号表示 ,通常是读取的存在
符号化的关键
- UD:这个房间里的人
- : 可以跳舞
我们可以说 意味着存在某人(至少一个),谁可以跳舞。
符号化的关键
- 乌德:所有的日子
- : 是当作者的时候是死亡的
我们可以说 意味着阿格尼索姆总有一天会死。
组合量词
量子可以组合在一起以形成命题。
一个常见的例子是对所有人来说,都是存在的条款
让UD成为 ,让 意思 少于
我们说, ,表示对于每个实数,有一些实际数字小于数字本身。
也许有人会认为 和 在这样的构造中总是可以切换的,但并不一定如此。
让 意思 喜欢
意味着有人是每个人都喜欢的人。
然而, 这意味着每个人都有喜欢他们的人。
量词的另一种常见组合是将存在量词或通用量词排在一起,如 和 分别意味着对所有的x, y, z . .或存在x,y,z,.... 这通常是作为一种速记来写的 或
让 意思 是一只狗。让 意味着 拥有
然后 意味着有人拥有一只狗
的范围量词的意思是量词在句子中所应用的那一部分。如果有必要,我们可以使用括号修改作用域。
考虑以下的符号化:
- UD:人
- : 可以弹吉他
- : Lemmy
在表达 ,量词的范围 这是一个表达 .这个翻译如果有吉他手,Lemmy是一名吉他手.
但是,如果我们说 ,我们将量词的作用域改为整个表达式。这个句子现在的意思是,有一个人 这样,如果 莱米是吉他手,莱米是吉他手。
你可能会注意到这句话是正确的,因为存在非吉他手。例如,让 是男士。 是true,因为先行项为false的条件始终为true。(阿格尼索姆不会弹吉他)。因为有人 ,满足这个句子, 这是真的。
不绑定到任何量程符范围的变量称为a免费变量. 表达式只能是一个命题,如果它的变量都不是自由的,我们将在下一节中看到。
正式的定义
在本节中,我们将通过一个组织层次来开发谓词逻辑中命题或句子的严格递归定义。
- 谓词、常量、变量、逻辑连接词、括号和量词称为象征.
- 一个表达是一串象征.
- 一个术语是一个常量还是变量。
- 一个n-adic谓词紧随其后的是 术语被称为原子公式.
- 原子式是一种原子形成良好的公式(wff)当且仅当其满足以下定义时:
- 每个原子配方是形成良好的配方。
- 如果 这是一个很好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 如果 和 那么,它们是形成良好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 如果 和 那么,它们是形成良好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 如果 和 那么,它们是形成良好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 如果 和 那么,它们是形成良好的公式吗 也是一个很好的公式。
- 如果 是形成良好的公式,并且 是一个变量, 包含至少一个发生的 ,及 没有 那么 也是一个很好的公式。
- 如果 是形成良好的公式,并且 是一个变量, 包含至少一个发生的 ,及 没有 那么 也是一个很好的公式。
- 最后,我们已准备好定义一个主张,如下所示:
形成良好的配方是一个提议如果没有自由变量
- 为了更严格,我们正式定义范围同样:量程的范围是量化器是主要逻辑运算符的子格式。
身份
我们可以通过谈论身份来扩展谓词逻辑,我们熟悉的东西。身份 实际上是一个双位谓词,它告诉我们一个给定的项总是可以被另一个项代替。因为身份是等价关系,它是对称的、传递的和自反的,
它让我们表达一些我们不可能的命题
快车liz是最高的间谍在谓词逻辑中使用合适的公式
让UD成为所有人。让 意味着 他是个间谍 意味着 的身材比 . 让这个常数 参考Liz。
这实际上是说,有人是间谍,但不是利兹,利兹一定比她高。我们需要使用identity谓词,因为Liz并不比她高。
使用适当的符号化将以下内容转换为谓词逻辑:
- 每个逻辑家都爱他自己以外的人。
- 唯一尊重理查德的人是起诉。
使用标识和量词的枚举
如果你尝试了最后一次练习,你可能自己可以做到这一点。
让 做个谓语。我们将看到如何使用谓词逻辑来表达几个涉及自然数的数量概念,也就是说,我们将表示至少N最多n、 或确切地n满足谓词的事物。
一 二 至少 确切地 最多
读者可以尝试探索为什么这些命题会有英语的声明翻译,并尝试对三个或更多的命题进行相同的翻译。
明确的描述
不适合在谓词逻辑中表示常量的描述包括不确定的描述。例如,在句子中有些狗很讨厌,一些狗是无限期的描述。
所有其他描述都是定.如果有一些实际适合该术语的描述,则拟合对象被称为参照的术语。然而,也有可能用不涉及任何东西的术语来构造句子,在这种情况下,术语本身被称为a非参考学期。
斟酌这个句子法国国王是秃头。
我们可以这样表示:
- :X是秃头
- :法国之王
的问题 这是一个不参考,因为没有法国之王
当我们试图计算句子的真值时,问题就出现了。如果我们考虑秃头谓词,法国国王不在他们里面,因为没有这样的人。考虑到对该声明的否定,法国国王不是秃头,似乎也不是真的,因为法国国王不在扩展中不秃顶用同样的逻辑。这似乎违反了排中律.
一个提出的解决方案是在三个值逻辑中解释句子,其中非参考项产生第三种逻辑价值。
Bartend Russel's描述理论按照以下方式正规否定声明:
让 意思 他是法国国王。
那么,原命题是以下三个命题的合取:
- 有一位法国国王
- 法国最多的一个国王
- 任何一个法国国王都是秃头的
实质上,,
对该声明的否定可能意味着, ,在这种情况下,否定是真的,因为真的没有这样的国王。
或者,它可能意味着 ,在这种情况下,根据同样的推理,否定是错误的。
谓词逻辑中的证明
本节内容不完整。你可以通过完成它和添加更多的例子来提供帮助。
为了从一组房地上证明结论,是使用某些推理规则的命题的转换。参数的制定的这种抽象是正式逻辑中的中心主题之一。
除了命题逻辑已经建立的证明规则外,我们还增加了以下规则:
- 普遍消除 :如果 是一个配方 , 可以用 ,即,所有情况 取而代之的是
- 存在介绍 :如果 是一个配方 , 可以用 ,即,一个或多个 取而代之的是
- 存在消除 :
- 普遍介绍 :
- 量化否定 :如果 是一个配方 , 可以用 而且, 可以用
- 身份介绍 :人们总是可以添加前提
- 身份消除 :