海浪的力量gydF4y2Ba

波gydF4y2Ba是物理量上的振荡扰动，如光波、声波或弦的横向振荡。为了移动组成粒子或改变电场/磁场，这些扰动需要能量来产生和传播。的gydF4y2Ba波浪的力量gydF4y2Ba因此是单位时间内由特定波的振荡输送的能量。功率公式的推导取决于介质——对于光波，功率是由gydF4y2Ba坡印亭矢量gydF4y2Ba，而对于弦上的振荡，功率可以通过使用的平衡力直接计算gydF4y2Ba牛顿第二定律gydF4y2Ba．然而，对于所有类型的波，功率的公式和物理意义采取类似的形式，通常取决于波的平方振幅和其他因素。gydF4y2Ba

要推导出弦振荡所携带的功率，首先要注意gydF4y2Ba波动方程gydF4y2Ba弦的横向振荡振幅为:gydF4y2Ba

$y = A\sin {(\omega t-kx+\phi)}gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba上面的常量gydF4y2Ba是振幅gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$,角频率gydF4y2Ba $\ωgydF4y2Ba$,波数gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$，和相移gydF4y2Ba $\φgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

通过考虑作用在弦上一个小单元上的力，我们可以找到该单元所携带的功率，从那里可以找到整个弦上振荡所携带的功率。看下面的图:gydF4y2Ba

振动弦的一小部分由于弦附近部分的位移而受到张力的加速。gydF4y2Ba

粒子所携带的能量完全符合这个公式gydF4y2Ba $P = \vec{F} \cdot \vec{v}gydF4y2Ba$．因为作用在弦的一小部分上的力就是张力gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$由于附近有一根绳子，这个功率是:gydF4y2Ba

$P = Tv \cos (90 - \theta) = Tv \sin \theta，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $\θgydF4y2Ba$是张力与水平线的夹角，如上图所示。对于满足波动方程的小振荡，gydF4y2Ba $\sin \theta \approx \theta \approx \tan \thetagydF4y2Ba$由gydF4y2Ba小角度的近似值gydF4y2Ba．所以幂可以写成位移的形式gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$小线绳的:gydF4y2Ba

$P = -T\frac {\partial y}{\partial t} \frac {\partial y}{\partial x}。gydF4y2Ba$

利用上述波动方程的通解，得到:gydF4y2Ba

$P = - t \离开(ω\ \因为{φωt-kx +(\ \)} \) \离开(- ka \因为{φωt-kx +(\ \)} \右)= Tk{一}^{2}\ \因为ω^{2}{φωt-kx +(\ \)}。gydF4y2Ba$

对一个振荡周期的时间进行平均，可以发现传输的平均功率为:gydF4y2Ba

$\lang P \rangle = Tk{A}^{2}\omega \lang \cos ^{2}{(\omega t-kx+\phi)}\ rangle = \frac {Tk{A}^{2}\omega}{2}，gydF4y2Ba$

因为cos²除以振荡的平均值是gydF4y2Ba $\ frac12gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这个公式也可以用不同的变量来写，利用波速是由质量密度给出的这一事实gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$和紧张gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $大概{v = \ \压裂{T}{\μ}}gydF4y2Ba$根据定义gydF4y2Ba $k = \压裂{\ω}{v}gydF4y2Ba$．在这种情况下，权力由:gydF4y2Ba

$\lang P \rangle = \frac12 \mu v \omega^2 A^2。gydF4y2Ba$

当波沿着弦传播时，能量沿着波的传播方向传递，以弦振荡的势能和动能的形式传递。在给定时间内转移的总能量以平均功率作为积分表示:gydF4y2Ba

$E(t) = \int_0^t \lang P \rangle dt。gydF4y2Ba$

证明了弦上振荡波在一个周期内传递的能量等于弦波振荡的一个波长的能量:gydF4y2Ba

$E_{\λ}= \ frac12m \ 2ω^ ^ 2 = \压裂{\μ\λ{\ω}^{2}{一}^ {2}}{2},gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$是单位长度的质量。注意，波速是用gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $大概{v = \ \压裂{T}{\μ}}gydF4y2Ba$根据定义gydF4y2Ba $k = \压裂{\ω}{v}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

---

解决方案:gydF4y2Ba

计算上面的积分gydF4y2Ba $T_0gydF4y2Ba$振荡周期，gydF4y2Ba $T_0 = \压裂{2 \π}{\ω}gydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$E(T_0) = \int_0^{T_0} \lang P \rangle dt = \int_0^{T_0} \frac12 T k A^2 \omega dt = \frac12 T k A^2 \omega T_0。gydF4y2Ba$

用的gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $T_0gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$,你会发现gydF4y2Ba

$E(T_0) = \frac12 \mu v^2 \frac{\omega}{v} A^2 \omega \frac{2\pi}{\omega} = \frac12 \mu v \omega A^2 (2\pi) = \frac12 \mu \left(\frac{\lambda}{2\pi}\right) \omega^2 A^2 (2\pi) = \frac12 \mu \lambda \omega^2 A^2。gydF4y2Ba$

因此，波在一个振荡周期内传播的能量与单个波长所含的能量相同。gydF4y2Ba

这个公式也可以用量纲分析来证明。注意，波传递的能量取决于波的来源。当源振荡时，源决定了波的振幅。频率，即振荡传播的速度，也取决于源。弦的质量密度决定了弦的惯性量;以特定频率振荡的较重的弦携带更多的能量，因为它需要更多的能量来移动具有更大惯性的物体。弦的性质它的张力只是表征了弦的质量;张力的作用是它是内部传递波的力，因此在固定的速度下，张力越大对应的质量越大，与上述公式一致。gydF4y2Ba

从分析中，我们可以得出这样的结论:有三个基本量固定了每单位波长的波所携带的能量。他们是:gydF4y2Ba

1. 弦单位长度的质量gydF4y2Ba
2. 振幅gydF4y2Ba
3. 振荡频率gydF4y2Ba

因此，单位波长的能量gydF4y2Ba $ugydF4y2Ba$成正比:gydF4y2Ba

$u \propto \mu^{a} a^ b \omega^c，gydF4y2Ba$

对于一些指数gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $bgydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $cgydF4y2Ba$．通过要求右边有能量密度单位，这些指数可以固定为gydF4y2Ba $一个= 1gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $b = 2gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba $c = 2gydF4y2Ba$,这意味着gydF4y2Ba $u \propto \mu \omega^2 A^2gydF4y2Ba$，这是每单位波长的正确能量，直到前因子1 / 2。gydF4y2Ba