权力平均不平等(QAGH)

的QM-AM-GM-HM或QAGH不平等推广了的基本结果<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-mean-geometric-mean/" class="wiki_link" title="算术平均-几何平均(AM-GM)不等式" target="_blank">算术平均-几何平均(AM-GM)不等式，比较了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/data-mean/" class="wiki_link" title="算术平均值(AM)" target="_blank">算术平均值(AM)而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-mean/" class="wiki_link" title="几何平均数(通用)" target="_blank">几何平均数(通用)，以包括比较<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-mean/" class="wiki_link" title="二次平均(QM)" target="_blank">二次平均(QM)而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/harmonic-mean/" class="wiki_link" title="调和平均数(HM)" target="_blank">调和平均数(HM),在那里 $f{\文本{QM}}$表示二次均值， $f{\文本{我}}$表示算术平均值， $f{\文本{通用}}$表示几何平均值，和 $f{\文本{HM}}$表示谐波平均值: $f文本{QM}} {\ \ f{\文本{我}}\组的组f{\文本{通用}}\ f{\文本{HM}}组。$

此外,权力意味着不平等扩展QM-AM结果，以比较更高功率的平均值和矩。

在高级不等式问题中经常出现各种均值之间的比较。除了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/applying-the-arithmetic-mean-geometric-mean/" class="wiki_link" title="AM-GM不平等" target="_blank">AM-GM不平等， QM-AM-GM-HM和幂均值不等式是不等式求解工具包的重要组成部分。

算术平均值。给定一个列表 $k$正数 $a_1、\ ldots a_k,$人们可能对各种不同类型的手段感兴趣。通过用和除以值的个数，得到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/data-mean/" class="wiki_link" title="算术平均值" target="_blank">算术平均值给出了基于线性加权的平均值或“典型”值的概念。有人可能会想 $k$乘以均值得到和

$k f_{\text{AM}} = a_1 + \cdots + a_k，$

它的定义是什么

$f_{\text{AM}} = \frac{a_1 + \cdots + a_k}{k}。$

二次的意思。也可以采用二次加权法。对于一组不同的价值观，人们可能会考虑 $k$乘以均值的平方得到平方和:

$k f^2_{\text{QM}} = a_1^2 + \cdots + a_k^2。$

因此，求平方和除以值的个数，然后取平方根得到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/quadratic-mean/" class="wiki_link" title="二次平均" target="_blank">二次平均或均方根(RMS):

$f{\文本{QM}} = \√6{\压裂{a_1 ^ 2 + \ cdots + a_k ^ 2} {k}}。$

几何平均数。或者，也可以考虑乘法的均值 $k ^ \文本{th}$平均值的幂等于两个值的乘积:

$f_{\text{GM}}^k = a_1 \cdots a_k。$

这可能会导致人们找到值的乘积，然后取 $k ^ \文本{th}$根，它产生<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-mean/" class="wiki_link" title="几何平均数" target="_blank">几何平均数

$f_{\text{GM}} = \sqrt[k]{a_1 \cdots a_k}。$

谐波的意思。最后，我们可以推测 $k$乘以均值的倒数可能等于两个值的倒数之和:

$文本f{\ \压裂{k} {{HM}}} = \压裂{1}{a_1} + \ cdots + \压裂{1}{a_k}。$

这就导致了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/harmonic-mean/" class="wiki_link" title="调和平均数" target="_blank">调和平均数定义为

$f{\文本{HM}} = \压裂{k}{\压裂{1}{a_1} + \ cdots + \压裂{1}{a_k}}。$

的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-mean-geometric-mean/" class="wiki_link" title="算术平均-几何平均(AM-GM)不等式" target="_blank">算术平均-几何平均(AM-GM)不等式断言算术平均数从不小于几何平均数: $f{\文本{我}}\ f{\文本{通用}}组。$它可以作为证明QM-AM-GM-HM不等式的起点。

QM-AM-GM-HM不平等。给定一个列表 $k$正实数 $a_1、\ ldots a_k$,让 $f{\文本{QM}}$表示二次均值， $f{\文本{我}}$表示算术平均值， $f{\文本{通用}}$表示几何平均值，和 $f{\文本{HM}}$表示调和平均值。然后

$f文本{QM}} {\ \ f{\文本{我}}\组的组f{\文本{通用}}\ f{\文本{HM}}组。$

此外，平等是当且仅当 $A_1 = \cdots = a_k。$

从AM-GM不等式开始 $f{\文本{我}}\组f{\文本{通用}},$这一点还有待证实 $f文本{QM}}{\ \组f{\文本{我}}$而且 $f{\文本{通用}}\ f{\文本{HM}}组。$后者直接遵循AM-GM with $\ frac1 {a_1} \ ldots \ frac1 {a_k}$：

$\压裂{\压裂{1}{a_1} + \ cdots + \压裂{1}{a_k}} {k} \组\ sqrt [k]{\压裂{1}{a_1 \ cdots a_k}}。$

取两边的倒数

$\ sqrt [k] {a_1 \ cdots a_k} \组\压裂{k}{\压裂{1}{a_1} + \ cdots + \压裂{1}{a_k}}$

根据需要。

要表示前者，可以用the<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cauchy-schwarz-inequality/" class="wiki_link" title="cauchy - schwarz不平等" target="_blank">cauchy - schwarz不平等写

$(a_1 + \ cdots + a_k) ^ 2 \ leq \大(a_1 ^ 2 + \ cdots + a_k ^ 2大)\ \ underbrace{\大(1 ^ 2 + \ cdots + 1 ^ 2 \大)}_ {k{\文本{倍}}}。$

两边同时除以 $k ^ 2$给了

$左(\ \压裂{a_1 + \ cdots + a_k} {k} \右)^ 2 \ leq \压裂{a_1 ^ 2 + \ cdots + a_k ^ 2} {k},$

因此

$\压裂{a_1 + \ cdots + a_k} {k} \ leq \√6{\压裂{a_1 ^ 2 + \ cdots + a_k ^ 2} {k}}。\ _ \广场$

相等条件的证明就留作练习了。

QM-AM-GM-HM为两个变量:

为 $a、b > 0,$它认为,

$大概{\ \ dfrac {b ^ ^ 2 + 2}{2}} \组\ dfrac {a + b}{2} \组大概{ab} \ \组\ dfrac ab {2} {a + b}。$

当 $一个$而且 $b$都是正数，证明不等式吗 $\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}。$

---

两边平方，得到

${对齐}\ \开始左\√{\压裂{b ^ ^ 2 + 2}{2}} \右)^ 2 & = \压裂{b ^ ^ 2 + 2}{2} \ \ \离开(\压裂{a + b}{2} \右)^ 2 & = \压裂{a ^ 2 + 2 ab + ^ 2}{4}。结束\{对齐}$

用第一个方程减去第二个方程得到

$\开始{对齐}\压裂{b ^ ^ 2 + 2}{2} - \压裂{a ^ 2 + 2 ab + ^ 2}{4} & = \压裂{2 ^ 2 + 2 ^通透^ 2-2ab-b ^ 2} {4 } \\\\ &= \ 压裂{一个^ 2-2ab + b ^ 2} {4 } \\\\ &= \ 压裂{(a - b) ^ 2}{4} \组0。结束\{对齐}$

因此, $大概{\ \压裂{b ^ ^ 2 + 2}{2}} \组\压裂{a + b}{2}。$ $_ \广场$

当 $一个$而且 $b$都是正数，证明不等式吗 $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}。$

---

左边减去右边得到

${对齐}\ \开始压裂{a + b} {2} - \ sqrt {ab} & = \压裂{a + b - 2 \ sqrt {ab}}{2} \ \ & = \压裂{\大\√{一}\大)^ 2 - 2大概大概{b}{} \ \ + \大(大概{b} \ \大)^ 2}{2 } \\ & = \ 大裂缝分析{\ \√大概{b}{} - \ \大)^ 2}{2}\组0。结束\{对齐}$

因此, $\压裂{a + b}{2} \组\ sqrt {ab}。$ $_ \广场$

当 $一个$而且 $b$都是正数，证明不等式吗 $大概{ab} \ \组\压裂ab {2} {a + b}。$

---

左边减去右边得到

$\开始大概{ab} -{对齐}\ \压裂ab {2} {a + b} & = \压裂{\ sqrt {ab} (a + b) 2 ab} {a + b} \ \ & = \压裂{\ sqrt {ab} \离开(a + b - 2 \ sqrt {ab} \右)}{a + b} \ \ & = \压裂{\ sqrt {ab} \左\√大概{b}{} - \ \右)^ 2}{a + b} \组0。结束\{对齐}$

因此, $大概{ab} \ \组\压裂ab {2} {a + b}。$ $_ \广场$

当 $x$而且 $y$都是正数，最小值是多少 $(2x+3y)\左(\frac{8}{x} + \frac{3}{y}\右)?$

---

$\{对齐}开始(2 x + 3 y) \左(\压裂{8}{x} + \压裂{3}{y} \右)& = 2 x \ cdot \压裂{8}{x} + 2 x \ cdot \压裂{3}{y} + 3 y \ cdot \压裂{8}{x} + 3 y \ cdot \压裂{3}{y} \ \ & = \压裂{6 x} {y} + \压裂{24 y} {x} + 25 \ \ & \组2 \√{\压裂{6 x} {y} \ * \压裂{24 y} {x}} + 25 \ \ & = 24 + 25 = 49。结束\{对齐}$

的最小值 $(2 x + 3 y) \左(\压裂{8}{x} + \压裂{3}{y} \右)$是 $49.$ $_ \广场$

当 $> 1,$按大小排列以下三个表达式: $$

$\{数组}{c} & 1开始,& \压裂{一}{1}& \压裂{+ 1}{}。结束\{数组}$

---

这三种表达的区别是

$\开始{对齐}\压裂{一}{1}1 = \压裂{一+ 1}{1}= \压裂{1}{(a - 1)} > 0 & \ Rightarrow \压裂{一}{1}> 1 & \ qquad(1) \ \ \压裂{+ 1}{}- \压裂{一}{1}= \压裂{一个^ 2-1-a ^ 2}{一个(a - 1)} = - \压裂{1}{一个(a - 1)} < 0 & \ Rightarrow \压裂{一}{1}> \压裂{+ 1}{一}& \ qquad(2) \ \ \压裂{+ 1}{1}= \压裂1 a{+}{} = \压裂{1}{一}> 0 & \ Rightarrow \压裂{+ 1}{一}> 1。& \ qquad(3)结束\{对齐}$

从 $(1)、(2)、$而且 $(3),$这三个表达式的顺序关系为

$\frac{a}{a-1} > \frac{a+1}{a} > 1。\ _ \广场$

为了推广算术和二次平均数，我们可以简单地考虑任意更高的幂 $n$——也就是说，给定一个 $n ^ \文本{th}$功率加权, $n ^ \文本{th}$均数可能被认为是 $k$乘以 $n ^ \文本{th}$权力的 $k$价值观:

$kf ^n = a_1^n + \cdots + a_k^n。$

求和 $n ^ \文本{th}$乘方除以值的个数，然后取 $n ^ \文本{th}$根了 $n ^ \文本{th}$权力的意思 $fn$：

$F_n = \sqrt[n]{\frac{a_1^n + \cdots a_k^n}{k}}。$

的权力意味着不平等断言 $f_m \组fn$为 $m > n。$

按照惯例, $F_0 = \ root [k]{a_1 a_2 a_3 \cdots a_k}$．

权力意味着不平等

积极 $a_1、\ ldots a_k,$与 $fn$定义为

$F_n = \sqrt[n]{\frac{a_1^n + \cdots a_k^n}{k}}，$

如果 $m > n,$由此可见,

$f_m \组fn,$

当且仅当 $A_1 = \cdots = a_k。$