多项式

一种多项式是一个数学表达由变量，系数和加法，减法，乘法和非负整数指令组成的组成。

以下是多项式的一些例子：

$\ begin {array} {c}＆x + 3，＆3x ^ 2-2x + 5，＆-7，＆2a ^ 3b ^ 2-3b ^ 2 + 2a-1，＆\ frac {1} {2} x ^ 2- \ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4}。\结束{array}$

多项式是数学“语言”的重要组成部分代数。它们在几乎每个数学领域都使用，以表达数学的数字运营。多项式也是其他类型数学表达式的“构建块”，例如理性表达式。

在日常生活中完成的许多数学过程可以被解释为多项式。汇总杂货票据上的物品的成本可以被解释为多项式。计算旅行的距离载体或物体可以被解释为多项式。计算周长那区域， 和体积几何图形可以解释为多项式。这些只是多项式的许多应用。

多项式是一种特殊类型的数学表达。

一个数学表达是由变量，常量和对它们执行的数学操作表示的数字。

以下是表达式的一些例子：

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$\ begin {array} {ccccc} \ color {＃3d99f6} {3x ^ 2-2x + 5}＆\ hphantom {\ ldots}＆\ color {＃3d99f6} {\ frac {1} {2} x ^ 2-\ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4}}＆\ hphantom {\ ldots}＆\ color {＃d61f06} {2 ^ x + x ^ {1/2}} \\ \\Color{#D61F06}{\frac{x}{y}+2y} & \hphantom{\ldots} & \color{#D61F06}{6x^{-2}+2x-3} & \hphantom{\ldots} & \color{#3D99F6}{x+3} \\ \\ \color{#D61F06}{\cos(x^2-1)} & \hphantom{\ldots} & \color{#3D99F6}{2a^3b^2-3b^2+2a-1} & \hphantom{\ldots} & \color{#3D99F6}{-7} \\ \\ \end{array}$

上面的一些表达式是多项式（蓝色），有些表达不是（以红色为红色）。可以通过注意到哪种表达式识别多项式只要添加，减法，乘法和非负整数指令的操作。非多项式表达式将是包含其他操作的表达式。

解释为什么非多项式表达不是多项式。

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我们可以总结如下表所示的原因：

$\ begin {array} {| c | c |} \ hline \ text {非多项式表达式}＆\ text {原因它不是多项式} \\ \ hline 2 ^ {\ color {＃d61f06} {x}}+X^{\color{#D61F06}{1/2}} & \text{Polynomials cannot contain variable exponents.} \\ & \text{They also cannot contain non-integer exponents.} \\ \hline \frac{x}{\color{#D61F06}{y}}+2y & \text{In general, polynomials }can\text{ contain fractions.} \\ & \text{However, they cannot contain variables in a denominator.} \\ \hline 6x^{\color{#D61F06}{-2}}+2x-3 & \text{Polynomials cannot have negative exponents on variables.} \\ \hline \color{#D61F06}{\cos}(x^2-1) & \text{Polynomials cannot contain non-polynomial functions}\\ &\text{including trigonometric functions like cosine.} \\ \hline \end{array}$

多项式是良好的数学对象，因此数学家可以方便地表达数学过程作为多项式。在解决数学问题时，非多项式表达倾向于呈现更多挑战。有一个概念结石，叫A.泰勒系列近似值，目标是近似一个非多项式表达作为多项式表达。这是由于多项式的许多方便的性质。

多项式中涉及的词汇首先可以有点令人生畏。但是，这些“复杂的声音”单词通常用于代表简单的想法。

调用多项式的“构建块”单体。

一种单体是含有变量和系数的多项式表达，并且不包含添加或减法。

单体经常被称为术语如果它们是较大多项式的一部分。

确定每个多项式中的术语。

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我们可以总结答案如下：

$\ begin {array} {| c | c | c |} \ hline \ text {polynomial表达式}＆\ text {ultimer} \\ \ hline x + 3＆x \ text {和} 3 \\ \ hline 3x ^ 2-2x+5＆3x ^ 2 \ text {，} -2x \ text {，和} 5 \\ \ hline -7＆-7 \\ \ hline 2a ^ 3b ^ 2-3b ^ 2 + 2a-1和2a ^ 3b^ 2 \ text {，} -3b ^ 2 \ text {，} 2a \ text {，and} -1 \\ \ hlinal \ frac {1} {2} x ^ 2- \ frac {2} {3} x +\ frac {3} {4}＆\ frac {1} {2} x ^ 2 \ text {，} - \ frac {2} {3} x \ text {，和} \ frac {3} {4}\ \ hline \结束{array}$

注意，每个术语可以是正的或阴性的，并且该符号取决于该术语是否在多项式中添加或减去在多项式中。每个术语也具有系数。

这系数一个术语是该术语的非可变因子。

确定每个术语的系数。

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答案如下：

$\ begin {array} {| c | c |} \ hline \ text {term}＆\ text {系数} \\ \ hline x＆1 \\ \ hline 3x ^ 2＆3 \\ \ hline -2x＆-2\\ \ hline 2a ^ 3b ^ 2＆2 \\ \ hline - \ frac {2} {3} x＆ - \ frac {2} {3} \\ \ hline -7＆-7 \\ \ hline \结束{大批}$

请注意，系数的“默认”值是 $1$。如果一个术语不包含变量，则系数是术语本身。

多项式通常被分类程度。

这单体的程度是单项中每个变量的指数的总和。

这多项式的程度多项式中的所有单体的最大程度是多数。

确定上面讨论的每种多项式的程度。

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答案如下：

• $-7$：持续的单体总体始终有一定程度 $\ color {＃3d99f6} 0$。它们也可以表示为例如 $-7x ^ 0.$作为 $x ^ 0 = 1$对于任何一个 $x \ neq 0$。
• $x + 3.$： 注意 $x = x ^ 1$。程度 $x ^ {\ color {＃d61f06} {1}}$是 $\ color {＃d61f06} 1$。程度 $3.$是 $\ color {＃d61f06} 0$。多项式的程度是较大的程度，即 $\ color {＃3d99f6} 1$。
• $3x ^ 2-2x + 5$： 注意 $-2x = -2x ^ 1$。程度 $3x ^ {\ color {＃d61f06} {2}}$是 $\ color {＃d61f06} 2$。程度 $-2x ^ {\ color {＃d61f06} {1}}$是 $\ color {＃d61f06} 1$。程度 $5.$是 $\ color {＃d61f06} 0$。多项式的程度是这些度的最大程度，即 $\ color {＃3d99f6} 2$。
• $2a ^ 3b ^ 2-3b ^ 2 + 2a-1$： 注意 $2a = 2a ^ 1$。程度 $2a ^ {\ color {＃d61f06} {3}} b ^ {\ color {＃d61f06} {2}}$是 $\ color {＃d61f06} 3+ \ color {＃d61f06} 2 = \ color {＃d61f06} 5$。程度 $-3b ^ {\ color {＃d61f06} {2}}$是 $\ color {＃d61f06} 2$。程度 $2a ^ {\ color {＃d61f06} {1}}$是 $\ color {＃d61f06} 1$。程度 $-1$是 $\ color {＃d61f06} 0$。多项式的程度是这些度的最大程度，即 $\ color {＃3d99f6} 5$。
• $\ frac {1} {2} x ^ 2- \ frac {2} {3} x + \ frac {3} {4}$： 注意 $- \ frac {2} {3} x = - \ frac {2} {3} x ^ 1$。程度 $\ frac {1} {2} x ^ {\ color {＃d61f06} {2}}$是 $\ color {＃d61f06} 2$。程度 $- \ frac {2} {3} x ^ {\ color {＃d61f06} {1}}$是 $\ color {＃d61f06} 1$。程度 $\ frac {3} {4}$是 $\ color {＃d61f06} 0$。多项式的程度是这些度的最大程度，即 $\ color {＃3d99f6} 2$。 $_\正方形$

多项式以这种方式分类，因为它们表现出不同的数学行为和属性，具体取决于程度。多项式的程度也会影响解决解决策略的解决方案方程式含有多项式。

$0.$调用程度多项式常数。常量的值不会改变，因此它们用于描述不会改变的数量。

$1 ^ \ text {st}$调用程度多项式线性多项式。它们用于描述以稳定的速率变化的数量。它们也用于许多涉及长度的一维几何问题。

$2 ^ \文本{nd}$调用程度多项式二次多项式。它们用于描述随着一定量的加速或减速而变化的数量。它们也用于涉及区域的许多二维几何问题。

$3 ^ \ text {rd}$调用程度多项式立方体多项式。它们用于许多涉及体积的三维几何问题。

多项式没有特殊名称 $4 ^ \ text {th}$程度或更高。高度多项式具有各种应用。

术语“常数”，“线性，”“二次，”和“立方体”在数学中是常见的;它们不仅用于多项式。然而，每个词的含义始终连接到一些多项式的程度。

多项式代表数字，因此，可以在多项式上执行任何数学操作，就像它们上的数字一样。当添加多项式时，减去或乘以，结果是另一种多项式。当多项式划分时，结果是一个合理的表达。

加减

主要文章：相结合的术语

多项式可以根据“联想法”添加。

有两种多项式： $（3x ^ 2 -2x + 4）$和 $（-3x ^ 2 + 6x-10）$这些多项式的总和是多少？

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总和是 $（3x ^ 2 -2x + 4）+（ - 3x ^ 2 + 6x-10）$。

通过加入的联想性质，条款的分组并不重要。因此，可以在不改变结果的情况下消除括号。然后写作的总和 $3x ^ 2 -2x + 4 + -3x ^ 2 + 6x-10$。

结合术语，结果总和是 $4x-6.$。 $_\正方形$

以类似的方式，也可以减去多项式。

有两种多项式： $（2x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1）$和 $（2x ^ 2 + 3x + 4）$。这些多项式的差异是什么？

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差异是 $（2x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1） - （2x ^ 2 + 3x + 4）$。

可以将减法重新解释为具有第二多项式的否定的总和。重新解释为总和，表达成为 $（2x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1）+（ - 2x ^ 2-3x-4）$。现在表达式是总和，Acaborative属性使得术语的分组无关紧要。可以消除括号： $2x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1-2x ^ 2-3x-4。$

结合术语，结果差异是 $2x ^ 3-x ^ 2-2x-3$。 $_\正方形$

乘法

主要文章：乘以多项式

两种多项式的倍增涉及将第一多项式的每个术语与第二多项式的每个术语乘以，然后求出所得单体。乘以术语时，必须记住指数的产品规则。

有两种多项式： $（x ^ 3 + 1）$和 $（x ^ 2 + 1）$。这些多项式的产品是什么？

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该产品写为 $（x ^ 3 + 1）（x ^ 2 + 1）。$

为了表明第一多项式中的每个术语在第二多项式中乘以每个术语，将其重新写入 $x ^ 3（x ^ 2 + 1）+1（x ^ 2 + 1）。$现在乘以和相结合，如术语， $x ^ 5 + x ^ 3 + x ^ 2 + 1。$没有类似的术语，所以所得到的产品是 $x ^ 5 + x ^ 3 + x ^ 2 + 1$。 $_\正方形$

分配

主要文章：多项式部门

分开多项式往往涉及重新编写划分合理的表达。

有两种多项式： $（2x ^ 2-3x + 8）$和 $（x-3）$。将这些多项式的商写作为合理的表达。

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写作合理表达的商是 $\ frac {2x ^ 2-3x + 8} {x-3}。$ $_\正方形$

这通常是写作商的首选方式。有时产生的合理表达可以进一步简化，但在这种情况下。

写入多项式商的另一种选择是将它们作为多项式和合理表达的总和将其写入多项式部门。

有两种多项式： $（2x ^ 2-3x + 8）$和 $（x-3）$。使用多项式划分将这些多项式的商写作为多项式和合理表达的总和。

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长律如下：

因此，所得到的商是 $2x + 3 + \ frac {17} {x-3}。$ $_\正方形$

主要文章：因子多项式

因子多项式是重新写入多项式作为多项式的等同产物的过程。有三种常见方式，其中可以考虑多项式：分组，替换和使用身份。

通过分组进行分解：

因素 $x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1$通过分组。

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我们有

$\ begin {对齐} x ^ 3 + x ^ 2 + x + 1＆=（x ^ 3 + x ^ 2）+（x + 1）\\＆= x ^ 2（x + 1）+1（x +1）\\＆=（x ^ 2 + 1）（x + 1）。\ _ \ square \ END {对齐}$

因替代而定理：

因素 $2 {（y + 1）} ^ 2 + 6（y + 1）+ 4。$

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让 $x =（y + 1），$然后多项式成为 $2x ^ 2 + 6x + 4 =（2x + 4）（x + 1）。$
替代 $x = y + 1$给 $（2Y + 6）（y + 2）。\ _ \ square$

与身份进行分解：

因素 $x ^ 2-25。$

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回想一下广场身份的差异： $a ^ 2-b ^ 2 =（a-b）（a + b）。$然后我们有

$x ^ 2-25 =（x-5）（x + 5）。\ _ \ square$

因素 $x ^ {4} + x ^ {2} + 1$。

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回想一下身份： $a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 =（a + b）^ 2。$如果要使用这种身份，那么 $x ^ {2}$术语应该有一个系数 $2$。制作系数 $2$通过减去 $x ^ 2$在末尾：

$x ^ {4} + x ^ {2} + 1 = x ^ {4} + 2x ^ {2} + 1 -x ^ {2}。$

然后考虑完美的方形三组给予

$\ big（x ^ {2} + 1 \ big）^ {2} - x ^ {2}。$

这现在是平方的差异：

$\ big（x ^ {2} + 1 + x \ big）\ big（x ^ {2} + 1 - x \ big）。$

现在通过降下的程度来重新订购条款，我们有

$\ big（x ^ {2} + x + 1 \ big）\ big（x ^ {2} -x + 1 \ big）。\ _ \ square$

因素 $x ^ {4} + y ^ {4}$。

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如前所述，这可以通过添加术语并减去相同术语来实现。所需的身份再次是完美的方形身份，所以应该有 $2 x ^ {2} y ^ {2}$中间术语。添加和减去本期：

$x ^ {4} + 2x ^ {2} y ^ {2} + y ^ {4} - 2x ^ {2} y ^ {2}。$

因素完美的方形三人：

$\ big（x ^ {2} + y ^ {2} \ big）^ {2} - 2x ^ {2} y ^ {2}。$

现在因素方块的差异：

$\ big（x ^ {2} + y ^ {2} + \ sqrt {2} xy \ big）\ big（x ^ {2} + y ^ {2} - \ sqrt {2} xy \ big）。\_\正方形$

一种多项式功能是A.功能这被评估为多项式。

一个功能 $p（x）$是A.多项式功能如果它可以写成

$p（x）= a_nx ^ n + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_1x + a_0。$

在这种形式， $a_0，a_1，\ cdots，a_ {n-1}，a_n$是非变量系数，和 $N.$是一个非负整数。

更简单地，如果使用添加，减法，乘法和非负整数指令进行评估，则函数是多项式函数。多项式功能也可以是多变量的。例如， $Q（x，y）= 3x ^ 2y + 2xy-6x + 9$是多项式功能。

主要文章：剩余因子定理

这剩余定理和因子定理对于涉及评估这些功能和这些功能的零的多项式功能是重要的结果。

剩余定理

当多项式时 $p（x）$除以 $（x-a）$，其余的是 $p（a）$。

让 $p（x）$是多项式功能。什么时候 $p（x）$除以 $（x-a）$，结果将是多项式函数的总和和理性表达式： $\ dfrac {p（x）} {x-a} = q（x）+ \ dfrac {r} {x-a}，$在哪里 $q（x）$表示得到的商量多项式，和 $R.$代表结果剩余部分。将此方程的两侧乘以 $（x-a）$产量 $p（x）=（x-a）q（x）+ r。$堵塞 $x = A.$， 我们有 $p（a）=（a-a）q（x）+ r。$

所以， $r = p（a）$。 $_\正方形$

因子定理

让 $f（x）$是一种多项式函数，使其如此 $f（c）= 0$对于一些常数 $C。$然后 $（X-C）$是一个因素 $f（x）$。声明的匡威也是如此。

什么时候是什么时候 $f（x）= x ^ 3 + 5x ^ 2 + 3$除以 $x + 1？$

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直接从剩下的定理，其余的是

$f（-1）= - 1 + 5 + 3 = 7。\ _ \ Square$

主要文章：牛顿的身份

牛顿的身份， 也被称为牛顿的总和或者牛顿 - 吉拉德公式，提供一种有效的方法来计算多项式方程根的功率系列，而无需计算根部。

让 $\ alpha_1.$和 $\ alpha_2.$是多项式方程的根源

$x ^ 2 + x + 1 = 0。$

什么是值 $\ alpha_1 ^ 3 + \ alpha_2 ^ 3？$

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自从 $a = 1，b = 1，$和 $c = 1，$牛顿的总和

$\ begin {对齐} p_0＆= a_1 ^ 0 + a_2 ^ 0 = 2 \\ p_1＆= a_1 ^ 1 + a_2 ^ 1 = \ frac {-b} {a} = -1 \\ p_2＆= a_1 ^ 2+ a_2 ^ 2 = \ frac {-b} {a} p_1- \ frac {c} {a} p_0 = -1 \\ p_3＆= a_1 ^ 3 + a_2 ^ 3 = \ frac {-b} {a}p_2- \ frac {c} {a} p_1 = 2. \ _ \ square \ END {对齐}$