多项式相乘

多项式乘法是两个或两个以上相乘的过程吗多项式．我们可以通过应用分配率多项式的乘法。

要将两个多项式相乘，取第一个多项式的项并将其分布到第二个多项式上。

$(a+b)(c+d) = a(c+d) +b (c+d) = ac+ad+bc+bd。$

或者，分配第二个多项式的项:

$(a+b)(c+d) = (a+b)c + (a+b)d = ac+bc+ad+bd。$

虽然这两个项的顺序略有不同，但这两个结果是相同的。

下面是一些多项式乘法的基本例子。

扩大 $(3) (y + 2)$．

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$\{对齐}开始(3)(y + 2) & y = x (3) + (- 3) \ * 2 \ \ & = xy - 3 y + 2 x 6。\ _\square \end{aligned}$

让我们来看一些稍微难一点的例子:

扩大 $(a + b) (x + y + z)$．

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我们有

$\{对齐}(a + b)开始(x + y + z) & = (a + b) x + y (a + b) + (a + b) z \ \ & = ax + bx + ay + +阿兹+热晕。结束\{对齐}$

或者，你也可以用分布来解决 $(a + b)$：

$\{对齐}(a + b)开始(x + y + z) & = (x + y + z) + b (x + y + z) \ \ & = ax + ay +阿兹+ bx + + +商务。结束\{对齐}$

虽然这两个项的顺序略有不同，但这两个结果是相同的。 $_ \广场$

扩大 $(2 x + 1) (x ^ {2} + 3 x + 4)。$

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用上面的方法展开列表:

$2 x (x ^ {2} + 3 x + 4) + 1 (x ^ {2} + 3 x + 4) = 2 x ^ {3} + 6 x ^ {2} + 8 + x ^ {2} + 3 x + 4。$

收集同类项，我们有

$2 x ^ {3} + (6 x ^ {2} + x ^ {2}) + (8 + 3 x) + 4 = 2 x ^ {3} + 7 x ^ {2} + 11 x + 4。\ _ \广场$

下面的形式在代数中经常出现。我们将在下面的示例中讨论如何展开它们，但是您还应该花一些时间将这些表单存储在内存中，因为您将经常看到它们。

1. $(a \pm b)²= a^2 \pm 2ab + b^2$
2. $(a+b)(a-b) = a²-b²$
3. $(a+b+c)²= a²+b²+c²+ 2ab + 2bc + 2ca$
4. $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$
5. $(a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2) = a^3 \pm b^3$

扩大 $(x + 2) ^ 2$．

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我们有

$\{对齐}开始(x + 2) ^ 2 & = (x + 2) (x + 2) \ \ & = x (x + 2) + 2 (x + 2) \ \ & x = x ^ 2 + 2 + 2 + 4 \ \ & = x ^ 2 + 4 + 4。结束\{对齐}$

扩大 $(a + b) ^ 2$．

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我们有

$\{对齐}开始(a + b) ^ 2 & = (a + b) (a + b) \ \ & = (a + b) + b (a + b) \ \ & = ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \ \ & = ^ 2 + 2 ab + b ^ 2。\ _\square \end{aligned}$

扩大 $(b) ^ 2$．

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因为我们从前面的例子中知道 $(a+b)²= a²+ 2ab +b²$，我们得出的结论是

$(a -b)²= (a+b)²= a²+ 2ab +b²。\ _ \广场$

扩大 $(a - b) ^ 2$．

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我们有

$\{对齐}开始(a - b) ^ 2 & = (a - b) (a - b) \ \ & = (a - b) - b (a - b) \ \ & = ^ 2 - ab - ba + b ^ 2 \ \ & = ^ 2 - 2 ab + b ^ 2。\ _\square \end{aligned}$

扩大 $(a + b) ^ 2$．

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我们有

$\{对齐}开始(a + b) ^ 2 & = (- (a - b)) ^ 2 \\ &= ((- 1 ^ 2) \ * (a - b) ^ 2 ) \\ & = ( a - b) ^ 2。结束\{对齐}$

因为我们从前面的例子中知道 $(a-b)²= a²- 2ab + b²$，我们得出的结论是

$(-a+b)²= (a-b)²= a²- 2ab +b²。\ _ \广场$

扩大 $(a + b) (a - b)$．

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我们有

$开始\{对齐}(a + b) (a - b) & = (a - b) + b (a - b) \ \ & = ^ 2 - ab + ab - b ^ 2 \ \ & = ^ 2 - b ^ 2。\ _\square \end{aligned}$

扩大 $(x + a) (x + b)$．

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我们有

$开始\{对齐}(x + a) (x + b) & = x (x + b) + (x + b) \ \ & = x ^ 2 + bx + ax + ab \ \ & = x ^ 2 + (a + b) x + ab。\ \ _ \广场结束{对齐}$

扩大 $(x + 2) (x + 3)$．

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我们有

$\{对齐}(x + 2)开始(x + 3) & = x ^ 2 + (2 + 3) x + (2 \ * 3) \ \ & = x ^ 2 + 5 + 6。\ _\square \end{aligned}$

扩大 $x (x - 2) (+ 3)$．

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我们有

$\{对齐}开始(x - 2) (x + 3) & = x ^ 2 + (2 + 3) x + (2 \ * 3) \ \ & = x ^ 2 + x - 6所示。\ _\square \end{aligned}$

的首项系数多项式的次幂为变量的系数。我们来看一个必须化简才能求出前导系数的例子。这是代数中常见的一类问题。

膨胀的领先系数是多少 $(2 + 5 x ^ {2}) (4 x ^ {3} + 2 x ^ {2} + 3 x ^ {4})$?

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展开列表:

$\{对齐}&2x开始(4 x ^ {3} + 2 x ^ {2} + 3 x ^ 4) + 5 x ^ {2} (4 x ^ {3} + 2 x ^ {2} + 3 x ^ 4) \ \ = &8x ^ {4} + 4 x ^ {3} + 6 x ^ {5} + 20 x ^ {5} + 10 x ^ {4} + 15 x ^{6}。结束\{对齐}$

收集像terms，我们有

$\{对齐}&开始(8 x ^ {4} + 10 x ^ {4}) + 4 x ^ {3} + (6 x ^ {5} + 20 x ^ {5}) + 15 x ^ {6} \ \ = &18x ^ {4} + 4 x ^ {3} + 26 x ^ {5} + 15 x ^{6}。结束\{对齐}$

因为幂最高的项是 $x ^ {6},$前导系数为 $15.\ _ \广场$

随着项数的增加，这项工作变得混乱，所以我们必须注意不要在符号和算术上出错。

展开式中所有系数的和是多少

$(3x ^{2} + 4x + 2)(x^{2} - 4x + 3)?$

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展开列表:

$\{对齐}开始&3x ^ {2} (x ^ {2} - 4 x + 3) + 4 x (x ^ {2} - 4 x + 3) + 2 (x ^ {2} - 4 x + 3) \ \ = &3x ^ {4} -12 x ^ {3} + 9 x ^ {2} + 4 x ^ {3} -16 x ^ {2} + 12 + 2 x ^ {2} 8 x + 6。结束\{对齐}$

收集像terms，我们有

$\{对齐}开始&3x ^ {4} + (-12 x ^ {3} + 4 x ^ {3}) + (9 x ^ {2} -16 x ^ {2} + 2 x ^ {2}) + (12 x-8x) + 6 \ \ = &3x ^ {4} 8 x ^ {3} 5 x ^ {2} + 4 x + 6。结束\{对齐}$

因此总和是 $3-8-5 + 4 + 6 = 0。\ _ \广场$

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