介绍剩余因子定理的应用:
考虑一个广义
nth度多项式:
f(x)=一个nxn+一个n−1xn−1+一个n−2xn−2+⋯+一个1x+一个0.
为了确定所有的
(n+1)系数,
一个0,一个1,一个2,...,一个n,我们至少需要知道
(n+1)点的
(x,f(x)).最常见的是我们通过解a来确定这些系数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/system-of-linear-equations/" class="wiki_link" title="线性方程组gydF4y2Ba" target="_blank">线性方程组同时进行。然而,随着
n规模越大,用手工解决就越不现实。那么,有没有更好的选择呢?是的,有,它涉及到直接应用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/remainder-factor-theorem/" class="wiki_link" title="remainder-factor定理gydF4y2Ba" target="_blank">remainder-factor定理.为了说明这一点,让我们考虑一个多项式:
考虑一个二次多项式
f(x)满足
f(1)=13.,f(2)=23.,f(3.)=3.3.,
我们感兴趣的是求二次多项式中的未知数,
f(x)=一个x2+bx+c.回想一下余数定理,我们有余数
一个x2+bx+c在除
x−1,x−2,x−3.是
13.,23.,3.3.,分别。这告诉我们需要同时解以下方程:
一个(1)2+b(1)+c一个(2)2+b(2)+c一个(3.)2+b(3.)+c===13.23.3.3..
然而,同时解决这些问题可能会变得很麻烦或乏味。那么,是否有替代方法呢?是的,有!事实上,我们可以避免同时解这些方程,方法是应用余因子定理的第二部分:因子定理。
因子定理
让
f(x)是一个多项式
f(c)=0为一个常数
c.然后
x−c是…的一个因素
f(x).相反,如果
x−c是…的一个因素
f(x),然后
f(c)=0.
但是它和多项式有什么关系呢?如果我们考虑一个假多项式
g(x)使它有根1 2 3。然后,根据因式定理
g(x)=一个(x−1)(x−2)(x−3.)为一个常数
一个.类似地,我们知道
f(k)=k3.为
k=1,2,3..因此,像
g(x)方程
f(k)−k3.=0也有根1 2 3。因此,我们可以找到两者之间的关系
g(x)和
f(x)得到