极地方程 - 区

一个曲线下的面积既可以使用被确定笛卡尔平面矩形 $（x，y）$坐标，极坐标。例如极坐标方程 $R = F（\ THETA）$描述的曲线。对于式这极曲线下面积由下面的公式给出：

考虑极性曲线的弧 $R = F（\ THETA）$作为追踪 $\ THETA$从变化 $\ theta_1$到 $\ theta_2$。如果这条弧线界定的平面的封闭区域，这一区域的面积 $\压裂{1} {2} \ INT _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} R ^ 2 \，d \ THETA = \压裂{1} {2} \ INT _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} F（\THETA）^ 2 \，d \有峰。$

考虑半径的圆 $R.$;该圆的对着的角度的扇形 $\ THETA$将有面积 $\ PI R ^ 2 \ CDOT \压裂{\ THETA} {2 \ PI} = \压裂{1} {2} R ^ 2 \有峰。$

在角度的微小变化 $\ THETA$， 从 $\ THETA$到 $\ THETA + d \ THETA$，飞机的区域扫过极曲线 $R = F（\ THETA）$大致为圆扇形，因此具有面积 $\压裂{1} {2} R ^ 2 d \有峰。$在间隔整合这个因素 $\ theta_1 \乐\ THETA \乐\ theta_2$给出了曲线的扫过的面积 $\压裂{1} {2} \ INT _ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} R ^ 2 \，d \θ表示$这是所需的式。

什么是半径的圆的面积 $R.$还是

---

半径的圆 $R.$由极坐标方程扫地出门 $R = R$作为 $\ THETA$从变化 $0.$到 $2 \ PI.$。因此，圆的区域是 $\压裂{1} {2} \ int_ {0} ^ {2 \ PI} R ^ 2 \，d \ THETA = \压裂{1} {2} \ CDOT 2 \ PI R ^ 2 = \ PI R ^ 2。$

一种玫瑰曲线由极坐标方程定义 $R = \ COS（3 \ THETA）$。这条曲线有三个“花瓣”;什么是花瓣的一个限定的区域？

的的曲线上升曲线与3个花瓣。

---

作为 $\ THETA$从变化 $- \ PI / 6$到 $\ PI / 6$，曲线描绘出一个花瓣。因此，花瓣的面积是 $\压裂{1} {2} \ INT _ { - \ PI / 6} ^ {\ PI / 6} \ COS ^ 2（3 \ THETA）\，d \ THETA = \压裂{1} {2} \左（\压裂{\ THETA} {2} + \压裂{\ SIN（6×）} {12} \右）\大\ VERT _ { - \ PI / 6} ^ {\ PI / 6} = \压裂{\ PI}{12}。$