皮托管定理
在几何,皮托管定理描述一个物体的对立面之间的关系切向四边形.这个定理是由从圆外一点到圆的两条切线段长度相等这一事实得出的。有四对相等的切线段,对边的和都可以分解成这四个切线段的和。反过来也是对的:一个圆可以内切到每一个凸四边形中,其中对边的长度之和为相同的值。
它是以法国工程师亨利·皮托的名字命名的,他在1725年证明了它。
声明
在切向四边形(可以内线的四边形)中,对边的两个长度之和相等。
让 是一个切向四边形。皮托定理告诉我们 .
的匡威这也是正确的,但需要更多的工作。直到1846年才被雅各布·施泰纳证明,比皮托发表他的证明晚了100多年!
证明
皮托定理是一个众所周知的事实的直接结果,即从圆外一点到圆的两条切线段的长度相等。
我们来证明一下。
我们要证明的是 .
注意这两个三角形 而且 是直角的.
我们还有 (因为它们是圆的半径)。
双方都有共同的一面吗 而且 .
这意味着三角形是相等的,我们可以说
皮托定理应该很明显了。下面的图片很好地总结了这一点。
逆向证明
我们想在一个凸四边形中证明它 ,如果 ,那么我们就可以画出一个与所有物体切线的半圆 两侧。
注意,我们总是可以画一个圆的切线 , 而且 .圆心就是角平分线所在的点 而且 相交。这个点一直存在,这个圆也一直存在。
我们要做的就是证明这个圆与之相切 也
我们要做a反证法.
假设圆与之不相切 .现在画圆的切线 ,让 是与它相交的点 .
这是一张图片 在于内在 .
因为这个圆是刻在四边形里的 ,由皮托定理可知 .还记得吗 或 .但这意味着 ,这是不可能的 是简并的。
所以我们之前的假设是错误的这个圆与所有的圆都是切线的 双方的 .
证明几乎是一样的,即使 不是在里面吗 .
额外的问题
- 圆 在四边形之外 .如果 延伸的是切线的 展示一下 .
- 证明上述问题的反面。
- 证明如果
,然后圆
而且
切向。
事实上,所有的4圈 是并行的交叉口 而且 .