π

$\π$圆的周长和直径之比。也就是说,

$文本\ dfrac{\{周长}}{\文本{直径}}= \π。$

$\π$是数学中的一个基本常数，尤其是几何，三角学,微积分．的前10位 $\π$(有时写成“pi”，发音为“pie”) $3.141592653……$，但任何有限的数字列表都是近似的 $\π$．这是因为 $\π$是一个无理数 $\大($这意味着它并不完全等同于任何整数的比例， $\压裂{一}{b} \大),$以及超越数．

涉及到的常见几何公式 $\ pi:$

• $d C \π= \压裂{}{},$在哪里 $C$a的周长是多少圆和 $d$是直径。
• $A = r^2，$在哪里 $一个$是圆面积和 $r$是半径。
• $V = frac{4}{3}\ r^3，$在哪里 $V$是球的体积和 $r$是半径。
• $SA = 4\ r^2，$在哪里 $SA$是球面的表面积和 $r$是半径。
• $A = ab，$在哪里 $一个$是椭圆的面积和 $一个$和 $b$是半小调和半大调轴。

通过测量这些多边形的周长，我们可以近似出圆的周长。

这些的周长 $n$-GON可从以下网址获得：常规的多边形然后我们可以用小角度的近似值为了求极限， $2 \π。$

一个近似的 $\π$可以从外接正方形和内接正方形的周长推导出来。

允许 $P_1$是大正方形的周长， $P_2$小正方形的周长，还有 $C$圆的周长。

圆的周长可以用两个周长的平均值来近似:

$C \大约\压裂{P_1 + P_2}{2}。$

如果 $d$是圆的直径，则较大正方形的边的长度也是 $d$. 较小正方形的边的长度可以使用特殊的直角三角形．这个长度是 $\压裂{\ sqrt {2}} {2} d$．现在我们有

$\{对齐}开始P_1& = 4 d \ \ P_2& = 2 \√{2}d。结束\{对齐}$

所以我们对周长的近似是 $C \大约\大(2 + \√{2}\大)d$．除以这个方程 $d$给我们一个近似值 $\ pi:$

$\π\大约2 + \√{2}。$

这并不是特别的好近似!然而，对于有更多边的正多边形，使用类似的方法可以获得更好的近似。

有许多模拟和统计技术可以用来近似 $\π$．远在计算机发明之前，法国数学家布丰 $(1707 - 1788)$和拉普拉斯 $(1749 - 1827)$提出利用随机模拟来估计的值 $π$．

著名的《布冯针》(Buffon’s needle)近似于此 $\π$利用了当一根直针被抛到飞机上时，它以任何角度降落的可能性是相等的这一事实。

假设 $n$长度为1的针落在地板上，木条分开一个单元。的期望值交叉两条木条的针的数量是 $π\压裂{2}{\}\ cdot n。$

证明的关键是将每个针分解成小段。松说,线性的期望告诉我们针在两条木条之间交叉的期望次数与针的长度成正比。

因此，作为长度的函数 $l$预计穿越的次数是 $cl$为一个常数 $c。$然而，考虑一个直径为1的圆(圆周 $\π$）;这个圆与木交叉点的交点的概率为1。因此, $c \π= 2,$所以 $c = \压裂{2}{\π}。$如果有人不喜欢圆的概念，可以考虑通过组合一堆非常非常小的线段来近似圆。 $_ \广场$

这就产生了一种简单的近似模拟技术 $\π。$简单地把 $n$地上有针，数一数有多少针 $x$哪个交叉了两条木条，然后呢 $\π\大约\压裂{2 n} {x}。$这种类型的模拟技术被称为蒙特卡罗模拟．

另一种近似更简单。考虑将一个圆内嵌到一个有边长的正方形中 $2$，所以半径 $r$圆的长度是有限的 $1$．

圆的真面积是 $\πr ^{2} = \π$．布丰提出，他可以通过在广场附近投下大量的针(他认为针落下时沿着随机的路径)来估计一个圆的面积。然后，尖头位于正方形内的针的数量与尖头位于圆形内的针的数量之比就可以用来估计圆的面积:

$\压裂{{一}_ {c}}{{一}_{年代}}= \压裂{\πr {} ^ {2}} {4} {r ^{2}} \意味着\π= 4 \压裂{{一}_ {c}}{{一}_{年代}}。$

数量 $\π$最重要的是三角学，因为它提供了一个更自然的角度解释度做的。具体地说,弧度是这样定义的 $2\pi$弧度相当于一个圆(换句话说， $\π$,理解为 $\π$弧度，在三角法中通常等于180度);这样，一个角度 $\θ$对应的弧长为 $θ\ \ cdot r$,在那里 $r$是圆的半径。同样地，弧度的定义使得一个弧度对应于等于圆半径的弧长。

这也使三角函数的求值变得容易:

这也允许复数显示在极坐标，意思是任何复数都可以写成这种形式 $再保险^{我\θ}$对于一些实数 $r$和 $\θ$．数量 $\π$在他们的分析中起着关键的作用，因为这个复数等于

$再保险^{我\θ}= r(罪\ cosθ+ i \ \ \θ)$

因为两边代表的是复平面．设置 $\θ= \π$给出了著名的身份

$E ^{i\pi} + 1 = 0。$

它是推测这就是只有数之间的非平凡关系 $艾凡,我,$和 $\π$，使这个结果(称为欧拉公式)甚至更引人注目。

虽然 $\π$不能表示为任何有限的有理数序列(作为存在的结果非理性的)，有很多种表达方式 $\π$作为一个无限系列。从历史的角度来说，这些序列的“第一个”是一个无穷乘积:

$\压裂{2}{\π}= \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ * \压裂{\√6 {2 + \ sqrt{2}}}{2} \ * \压裂{\√6 {2 + \ sqrt {2 + \ sqrt {2}}}} {2} \ \ cdots,$

,自 $n ^ \文本{th}$无穷积的项是 $\因为\压裂{\π}{2 ^ n}$通过对半角公式的反复应用，等价于

$n \ rightarrow \ \ lim_ {infty} \压裂{1}{2 ^ n \罪\压裂{\π}{2 ^ {n + 1}}} = \压裂{2}{\π},$

哪一个是正确的 $罪\ \压裂{\π}{2 ^ {n + 1}} \大约\压裂{\π}{2 ^ {n + 1}}$对于大型 $n$．

更有用的级数是无穷级数总结而不是乘积，因为计算无穷表达式的前几项 $\π$给出了其值的良好近似值。最简单的是Gregory Leibniz系列，它使用泰勒级数的 $\阿尔茨坦x$在1:

$\压裂{\π}{4}= 1 - \压裂{1}{3}+ \压裂{1},{5}\压裂{1}{7}+ \ cdots。$

但是,汇聚这意味着需要大量的项来得到一个很好的近似 $\π$．更好的系列包括Machin-like公式:

$\开始{对齐}\压裂{\π}{4}& = 4 \反正切\压裂{1}{5}\反正切\压裂{1},{239}\ \ \压裂{\π}{4}& = 22 \反正切\压裂{24478}{873121}+ 17 \反正切\压裂{685601}{69049993}。结束\{对齐}$

在现代计算机时代，甚至还有更好的系列:

$\压裂{1}{\π}= \压裂{2 \√{2}}{9801}\ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \压裂{(4 k) ! (1103 + 26390 k)} {k ! ^ 4 (396 ^ {4 k})},$

哪一个可以用来计算百万位数的 $\π$．

$\π$也可以用积分．最简单的是那些表示圆的面积或周长的符号:

$\ int_{1} ^ 1 \√dx = {1 - x ^ 2} \压裂{\π}{2},$

作为 $\左（x，\sqrt{1-x^2}\右）$表示上方圆的上半部分 $[1]$．

更复杂的积分统计数据，如下面的面积正态分布：

$\ int_ {- \ infty} ^ ^ {\ infty} e {- x ^ 2} dx = \ sqrt{\π}$

和柯西分布:

$\ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \压裂{1}{x ^ 2 + 1} dx = \π。$

最后, $\π$出现在涉及的各种表达中γ函数的扩展的阶乘函数定义为

$\γ(t) = \ int_0 ^ {\ infty} x ^ {t - 1} e ^ {- x} dx,$

它包含 $\π$当对半整数求值时。例如,

$左(\ \伽马\压裂{1}{2}\右)= \ sqrt{\π}~ ~ \伽马\离开(\压裂{5}{2}\右)= \压裂{3}{4}\ sqrt{\π}。$

的前500位 $\π$是

$\ \ 3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679 \ \小8214808651328230664709384460955058223172535940812848111745028410270193852110555964462294895493038196 \ \ \ 4428810975665933446128475648233786783165271201909145648566923460348610454326648213393607260249141273 \ \ \小724587006606315588174881520920962829254091715364367892590360011330530548820466521384146919415116094 \\ \小3305727036575959195309218611738193261179310511854807446237996274956735188575272489122793818301194912…$

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