交通堵塞物理学

单个车辆的路径，交通堵塞的浪潮穿过它们

交通堵塞是汽车在道路上行驶速度的突然变化。在右边的图片中，汽车以一个速度移动，然后撞上一个“扭结”，它们开始以不同的速度移动。这个扭结就是堵塞，它以一定的速度向后移动。使用类似于流体动力学的物理推理，就有可能发现给定的堵塞是如何通过一排汽车的。

交通堵塞的数学模型在概念上很有趣，在经济上也很重要。在美国，交通堵塞造成的金钱和时间浪费估计高达1600亿美元。^［1］如今，像微软这样的公司可以使用来自交通的实时数据提前一小时预测交通堵塞。^[2]

汽车不会自动出现或消失在路上。用物理学的语言来说，确实如此守恒的.对于任何路段，如果该空间内的车辆密度保持不变，则进入该空间的车辆流量等于离开该空间的车辆流量。如果车辆流量不平衡，则密度增加的速度必须取决于车辆流入和流出的速度之差。速度 $v$汽车的速度和密度 $K$是每单位长度有多少个。在任何时候通过一个点的汽车的总流量就是这个产品 $q = vk$，它具有每次的车辆单位。

考虑一条横穿一条一维道路的线。穿过一条线的汽车的数量等于穿过该线另一边的汽车的数量，因为线是无限薄的。这条定律也适用于如果直线运动的话。 $v$在一条静止的直线上，这与汽车静止不动，直线以一定的速度向后移动是一样的 $- v$．

这一事实可以用来确定冲击波的速度，或是流速突然变化的直线 $v_ {w}$．相对于地面，位于波前左侧的汽车的速度是 $v_L$右边的速度是 $v_R$．从冲击波的角度来看，左边的车以速度运动 $v_{L}-v_{w}$右边的汽车以高速行驶 $v_{R}-v_w$．使冲击波框架两侧的流量相等:

$\开始{aligned}k{L}（v{L}-v{w）&=k{R（v{R-v{w）\\q{L-k{L v{w&=q{R-k{R}\\v{w&=\frac{q{u R-q}{k{R-k}.\end{aligned}$

算出 $v_w$从密度来看，需要有一种方法将流速表示为密度的函数， $q（k）$. 最简单的模型是线性的： $Q (k) = v_{max} (k_{max} - k)$．如果路上没有其他的车 $k = 0)$，汽车将以限速行驶。随着密度的增加，速度会降低，直到因为汽车太多而无法移动:

$q（k）=v_{max}k（k_{max}-k）。$

这是一个二次函数 $K$．每增加一辆新车，净流量就会增加到一个最大值，然后总流量就会下降，直到没有汽车在移动。这是因为每增加一辆新车，速度就会降低所有因为这个原因，交通堵塞可以被认为是一种交通事故公地悲剧。如果所有的司机都同意与前面的车保持合理的距离，密度可以保持在最佳水平，他们都可以更快地到达目的地。但是，如果每辆车都贪婪地试图在停车前尽可能地领先，那么每个人的速度都会变慢。

某一特定形状的交通流基本图 $q（k）$．

的情节 $q（k）$被称为交通流基本图，因为可以从中读出汽车的速度和冲击波。

自 $v=\frac{q}{k}$，汽车的速度由从原点开始到终点的直线斜率给出 $(k, q (k))$. 冲击波的速度由连接线的斜率给出 $(k_L q_L)$和 $（k_R，q_R）$，因为这正是上面给出的方程 $v_ {w}$．这个几何表示证明了冲击波的速度必须总是小于或等于汽车的速度。曲线上一点和另一点之间的直线，其斜率总是小于从原点到该点的直线。

人们可以在交通堵塞时通过实验来验证这一事实。由于波的速度总是小于交通速度，从司机的角度来看，波总是会向汽车方向移动。这可以看作是瀑布般的刹车灯朝着汽车。

相对于地面，冲击波的速度可以是正的，也可以是负的。如果密度大于最大流量的密度，那么密度的任何增加都会产生向后移动的波（因为 $q_R——q_L$是负的, $k_R——k_L$是肯定的）。但是，如果密度较低且施加了小的冲击，冲击将相对于地面向前移动，因为向前的交通流量大于向后的交通流量。

上面的守恒论点引出一个微分方程，有时称为守恒方程该微分方程还控制电路中的电荷流和电磁波中的能量，以及某些量守恒的其他现象：

$\frac{\partial q}{\partial x}+\frac{\partial k}{\partial t}=0$

换句话说，它表示一个小盒子两侧的流量变化( $\压裂{\部分q} {x} \部分$)通过小盒子内密度的变化来精确平衡( $\分形{\部分k}{\部分t}$）.给定某一时刻整个道路上的流量和密度，这个方程给出了未来所有点的行为。这是一个类似于波动方程，但它是一阶的，而不是二阶的。

1. 福塞斯,j .(2015)。美国上班族每年大约有42小时被堵在路上。路透．
2. Sawers, p(2015)。微软如何's-Using-Big-Data-To-Predict-Traffic-Jams-Up-To-An-Hour-In-Advance。beat．