置换

排列最简单的例子是所有对象都需要排列，就像介绍中所做的那样 $A B C D。$因此，问题成为以下问题：

给定对象列表，如何列出所有可能的置换？

有几种算法枚举所有排列;一个例子是以下递归算法：

1. 如果列表包含单个元素，则返回单个元素。
2. 如果列表包含多个元素，则循环遍历列表中的每个元素，返回该元素和其余元素的所有排列组合 $n - 1$对象。

丽莎有5种不同的饰品，她希望在她的地幔上排列。她可以安排多少种方式？

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我们可以把丽莎的披风想象成一条线上有五个位置。有5个饰品，这给了5个选择哪个饰品进入第一个位置。在放置了第一个装饰之后，有4个选择放置在第二个位置。重复这个论点，第三个位置有3个选择，第四个位置有2个选择，最后一个位置有1个选择。由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rule-of-product/" class="wiki_link" title="规则的产品" target="_blank">规则的产品，放置装饰品的总数的总数是

$5 \ times 4 \ times 3 \ times 2 \ times 1 = 120. \ _ \ Square$

更普遍，

鉴于列表 $n$截然不同的物体，对象的许多不同的排列？

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因为每个排列都是一个排序，所以从一个空的排序开始，它包括 $n$在一条线上填补的位置 $n$对象。有 $n$在第一位置放置一个物体的选择。在放置第一个对象之后，有 $n - 1$剩下的物体，所以有 $n - 1$在第二个位置放置一个物体的选择。重复这个论点，有 $n -$第三个位置的选择， $n - 3$第四个位置的选择，等等。为 $n ^ \ text {th}$位置，选择的数量是 $n - （n-1）= 1。$然后是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rule-of-product/" class="wiki_link" title="规则的产品" target="_blank">规则的产品意味着排序总数是

$N \乘(N -1) \乘(N -2) \乘(N -3) \乘(cdots) \乘1 = N !\ _ \广场$

对于一个正整数 $n$，符号 $n$表示的阶乘的 $n$是指所有正整数的产品 $1$来 $n$．注意 $0！$是空产品，被定义为 $1$．

上面的参数显示以下结果：

排列的数目 $n$独特的物体是 $n$，阶乘的 $ñ。$

杰克正在玩标准甲板 $52$扑克牌。他洗牌了卡，然后将顶部卡转过来展示黑桃的王牌。如果他继续从甲板顶部处理卡片，那么甲板中的剩余卡有多少不同的排列？

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因为第一张牌是黑桃a，所以有 $51$在甲板上剩下不同的扑克牌。然后有 $51！$剩余卡的不同排列。 $_\正方形$

的前几个值 $n$是

$\ begin {array} {c}＆1！= 1，＆2！= 2，＆3！= 6，＆4！= 24，＆5！= 120，＆6！= 720，＆7！= 5040，＆\ ldots。\结束{array}$

作为上面的列表显示， $n$生长很快 $n$； $60 !$例如，已经大于可观察宇宙中的原子数。

有多少种方式可以在一个圆桌会议上坐在一个圆桌会议上的一方，以便没有两个女人是邻近的？

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4人可以在圆形桌子上坐在圆形桌子上，使每对女性之间存在空置座位。

这4人可以在圆桌会议上坐着的方式数量是 $3 != 6。$现在4个空置座位可以被女性占用 $4 != 24$的方式。因此，所需的方法数是 $6 \ times24 = 144$的方式。 $_\正方形$

假设ellie正在选择由数字组成的秘密密码 $0 1 2 \ ldots k$对于一些 $K \ LEQ 9$．她希望她的密码每个数字最多使用一次，因为她担心安全，她想选择一个值 $k$这样，可能的排列的数量至少是250,000。的最小值是多少 $k$艾莉可以使用？

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注意 $8！= 40320$和 $9！= 362880。$因此，ellie至少需要 $9$在她的密码中的数字。由于数字开始 $0$，最小的价值 $k$Ellie可以选择的是 $k = 8。$ $_\正方形$

更确切地说，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/stirlings-formula/" class="wiki_link" title="斯特林的惯例" target="_blank">斯特林的惯例州 $n$近似

$n\ sim \ sqrt {2 \ pi n} \ left（\ frac {n} {e} \右）^ n。$

近似的精确范围显示在不等式中

${2\pi} n^{n+1/2}e^{-n} n!le e \ \ n ^ {n + 1/2} e ^ {n}。$

在物体不截然不同的情况下，我们有一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/permutations-with-repetition/" class="wiki_link" title="重复排列" target="_blank">重复排列问题;在置换必须满足某些约束的情况下，我们有一个<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/permutations-with-restriction/" class="wiki_link" title="限制的排列" target="_blank">限制的排列问题。

考虑以下问题:

丽莎有13个不同的饰品，她想在她的斗篷上放4个饰品。有多少种可能呢?

使用产品规则，LISA有13个选择，其中装饰物放置在第一位置，12个用于第二位置的12个，第三位，10个用于第四位的10个。所以她所拥有的选择总数是 $13 \ times 12 \ times 11 \ times 10$．使用因子符号，选择总数是 $\ frac {13！} {9！}$．

用同样的论点，我们可以继续一般情况。如果我们有 $n$对象并想要安排 $k$他们连续，有 $\ frac {n！} {（n-k）！}$做这件事的方法。这也被称为a $k$- 蒙蔽 $n$，表示为 $p_k ^ n$．

没有重复数字可以形成多少3位数字？

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百分之一的地方不能包含 $0$，但我们可以把其他任何数放在百分位。所以，它可以被填充 $9$的方式。现在我们不能使用第十位的百分之百种地方使用的数字。但我们可以使用 $0$．所以，我们可以填补十分之一 $9$方式也是。单位数字可以填写 $8$由于两个号码的位置现在不可用。所以，不需要重复的三位数字的总数是 $9×9×8 = 648。\ _ \广场$

如果允许不重复使用的字符是0,1,2,3，…， 9和A, B, C，…， Z和a, b, c，…, z ?

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我们有 $26 + 26 + 10 = 62$选择可供选择。因此，我们必须排列在62个可用对象中的4个对象，所以的方式等于 $\ frac {62！} {（62-4）！} = 62 \ times 61 \ times 60 \ times 59 = 13388280。$ $_\正方形$

假设丽莎有13种不同的装饰品，并且想在她的地幔上排成一排饰品，安娜有12种不同的饰品，并希望在她的地幔上排成一排装饰品。丽莎是否有可能在可能的方式中有更多的选择来放置她的装饰品或安娜？

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因为丽莎有13件装饰品，她想把其中的4件放在她的披风上，她做到了

$\压裂{13 !}{(常规)!} = \压裂{13 !}{9 !} = 13 × 12 × 11 × 10$

选择可能的方式放置她的饰品的数量。同样的，因为安娜有12件装饰品，想把其中的5件放在她的斗篷上，她做到了

$\ frac {12！} {（12-5）！} = \ frac {12！} {7！} = 12 \ times 11 \ times 10 \ times 9 \ times 8$

选择可能的方式放置她的饰品的数量。现在，

$13 \ times 12 \ times 11 \ times 10 <12 \ times 11 \ times 10 \ times 9 \ times 8$

从取消术语以来，我们可以看到 $13 <9 \ times 8$．这表明Anna在可能的方法中有更多的选择来放置她的装饰品。 $_\正方形$

一般来说，如果安娜有 $12$不同的装饰品和想要放置的地方 $k$他们的披风 $（$和 $1$如果丽莎有 $13$不同的装饰品和想要放置的地方 $K-1$他们在地幔上，对于什么值 $k$Anna是否有可能在可能的方法中有更多的选择来放置她所有的装饰品？

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因为安娜 $12$装饰品和想要放置 $k$在她的披风上，她有

$\压裂{12 !}{(12 k) !} = 12 \乘以11 \乘以cdots \乘以(12 - k + 1)$

选择可能的方式放置她的饰品的数量。同样，丽莎有 $13$装饰品和想要放置 $K-1$在她的披风上，她有

$\ frac {13！} {\ big（13-（k-1）\ big）！} = 13 \ times 12 \ times \ cdots \ times（13 - k + 2）$

选择可能的方式放置她的饰品的数量。现在，让我们通过消去项来比较这两个量:

$\ begin {对齐} 13 \ times 12 \ times \ cdots \ times（13 - k + 2）＆\ quad？\ Quad 12 \ times 11 \ times \ cdots \ times（12 - k + 1）\\\\ 13＆quad？\四（12 - k + 2）\ times（12 - k + 1）。\结束{对齐}$

现在以来 $1$，我们可以检查一下 $k = 10,11,12$，我们有

$13>（12 - k + 2）\ times（12 - k + 1）。$

为 $k = 1,2，\ ldots，9$， 我们有

$13 < (12 - k + 2) \乘以(12 - k + 1)$

这表明Anna在可能的方法中有更多的选择来放置她的装饰品 $K = 1,2, ldots,9$． $_\正方形$

下面是一些重复排列的例子:

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/permutations-with-repetition/" class="wiki_link" title="重复排列" target="_blank">重复排列

用所有的数字可以得到多少个不同的6位数字

$5、5、7、7、7、8?$

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我们首先计算所有六位数的排列总数。这完全提供了

$6 != 6 \ times 5 \ times 4 \ times 3 \ times 2 \ times 1 = 720$

排列。现在，有两个5的，所以可以允许重复的5 $2！$方法和六位数将保持不变。类似地，有三个7，所以重复的7可以排列进去 $3 !$方法和六位数将保持不变。这显示了不同的6位数字的数量使用所有的数字是

$\ frac {6！} {2！3！} = \ frac {6 \ times 5 \ times 4 \ times 3 \ times 2 \ times 1} {2！3！} = 5 \ times 4 \ times 3 = 20 \ times 3 = 60. \ _ \ Square$

主要文章:<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/permutations-with-restriction/" class="wiki_link" title="排列 - 有限制" target="_blank">排列 - 有限制

丽莎有4种不同的狗饰品和6种不同的猫饰品，她想要放在她的地幔上。所有的狗饰品都应连续，猫饰品也应该是连续的。他们可以安排多少种方式？

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我们必须决定我们是否希望首先放置狗装饰品，或者猫装饰品，这给了我们2种可能性。我们可以安排猫饰品 $6 !$路和狗在装饰 $4 !$的方式。因此，根据乘积法则，有 $2 \ times 6！\ times 4！= 34560.$布置装饰品的方法。 $_\正方形$

鉴于置换问题，我们如何确定问题下降的类别以及应该应用哪种技术来解决问题？首先问自己几个问题可能是有用的：

• 物体是否都截然不同？
• 总共有多少个对象?
• 我们要求有多少物体进入订购？
• 对象或订购是否有任何限制？

根据这些问题的答案，可以更容易地确定应该应用哪种技术。通过许多示例的工作是在识别置换问题的情况下更好地变得更好的方式，或者没有重复或没有限制的置换。

• 组合
• 紊乱
• 限制的排列