排列与限制

一个排列是一组对象的排序。当施加额外的限制时，情况就变成了一个关于排列与限制．最常见的限制是只考虑少量的对象，这意味着并不需要对所有对象进行排序。其他常见的限制类型包括限制可以彼此相邻的对象的类型，或者更改从一行到另一行的排序机制拓扑结构(例如，用圆桌代替绳子，用钥匙链代替戒指)。

这种形式的问题可能是实践中最常见的。例如，决定吃什么、做什么或看什么都是带有限制的排列的隐含例子，因为计划点菜显然是不切实际的所有可能的食物/任务/显示。

对少数对象的限制相当于下面的问题:

鉴于 $n$不同的对象，有多少种放置方式 $k$把它们变成一个命令?

就像应对策略一样排列在整个对象集合中，考虑一个空的排序，它由 $k$一行中要填充的空位置 $k$对象。有 $n$选择哪一个 $n$放置在第一个位置的物体。在放置第一个物体之后，有 $n - 1$剩下的对象，所以有 $n - 1$选择将哪个物体放置在第二个位置。重复这个论点，有 $n -$第三个位置的选择， $n - 3$第四个位置的选择，等等。最后,为 $k ^ \文本{th}$的位置,有 $N - (k-1) = N - k + 1$选择。然后规则的产品表示排序的总数由下面给出:

鉴于 $n$不同的物体，不同的放置方式 $k$其中的一个排序是

$P ^ n_k = n (n - 1) (n - 2) \ cdots (n - k + 1) = \压裂{n !} {(n - k) !}。$

这也被称为a $k$排列的 $n$．

丽莎有12件装饰品，她想把5件装饰品放在她的斗篷上。她有多少种方法可以做到这一点?

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由规则的产品在美国，丽莎有12个选择放在第一位置的装饰品，11个放在第二位置，10个放在第三位置，9个放在第四位置，8个放在第五位置。所以她的选项总数是 $12乘以11乘以10乘以9乘以8$．使用阶乘符号，选项的总数是 $\压裂{12 !}{7 !｝$． $_ \广场$

在一个30人的班级中，有多少种方法可以选出一个班长，一个秘书和一个会计?一个学生最多只能担任一个职位。

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解决方案1:我们可以从30名学生中选出班长，29名学生选秘书，28名学生选财务。因此，根据乘积法则，可能性的数量是 $30 × 29 × 28 = 24360$．

解决方案2:通过以上讨论，有 $P_{27}^{30} = {30!}{(30-3)!｝$的方式。虽然很难评估 $30 !$和 $27日!$，我们注意到除会得到 $30 × 29 × 28 = 24360$． $_ \广场$

丽莎有4种不同的狗饰品和6种不同的猫饰品，她想把它们放在她的斗篷上。所有的狗的饰品都应该是连续的，猫的饰品也应该是连续的。它们有多少种排列方式?

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我们要决定是先放狗的饰品，还是先放猫的饰品，这给了我们两种可能性。我们可以把狗饰品放在 $4！$Ways, and the cat ornaments in $6！$的方式。因此,由规则的产品,有 $2 \ * 6 !\ * 4 != 34560$布置装饰品的方法。 $_ \广场$

6个朋友出去吃饭。让他们围坐在圆桌旁有多少种方式?座位的旋转被认为是相同的，但反射被认为是不同的。

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解决方案1:由于旋转被认为是相同的，我们可以确定其中一个朋友的位置，然后继续顺时针安排其余的5个朋友围绕他。因此,有 $5 != 120$安排朋友的方法。

解决方案2:有 $6！$让6个朋友围坐在桌边的方法。但是，由于轮调被认为是相同的，因此有6种相同的安排。因此，为了解释这些重复排列，我们除以重复的次数，得到总排列数为 $\压裂{6 !｝{6} = 120$．

这两种解决方法都是同样有效的，并说明了如何以不同的方式思考问题可以产生另一种计算答案的方法。 $_ \广场$

• 排列
• 与重复排列