完美的数字

一个完全数是一个正整数，它等于其除数本身外的所有正数除数的和。例如, $6$一个完全数是因为的约数吗 $6$是 $1，2，$而且 $3.$而且 $6 = 1 + 2 + 3。$

一个数所有正除数的和 $n$用 $\σ(n)$．因此，完全数是一个正整数 $n$这样 $\σ(n) = 2 n。$

包括希腊人在内的古代数学家对完全数非常感兴趣，他们认为完全数具有神秘的意义。也许有些令人惊讶的是，关于完全数的许多基本问题仍然没有解决。最值得注意的是，我们不知道是否有无限个完全数，也不知道是否有奇完全数。

欧几里得证明了元素,如果 $2 ^ p - 1$是',那么 $2 ^ {p - 1} (2 ^ p - 1)$是完美的。

前四个完全数是

$\{对齐}6日开始& = 2 ^{2}(2 ^ 2 - 1)28 \ \ & = 2 ^{3}(2 ^ 3 - 1)\ \ 496 & = 2 ^{5 - 1}(2 ^ 5 - 1)\ \ 8128 & = 2 ^{7 - 1}(2 ^ 7 - 1)。结束\{对齐}$

2000多年后，欧拉第一个给出了证明每一个偶完全数是这种形式。这就是所谓的欧几里德-欧拉定理。欧拉的证明非常简单:

一个正整数 $n$是偶完全数当且仅当 $n = 2 ^ {p - 1} (2 ^ p - 1)$对于某个正素数 $p$这样 $2 ^ p - 1$是质数。 $（$在这里 $2 ^ p - 1$被称为梅森素数． $）$

对于"if"(欧几里得)命题，令 $P$是梅森素数 $2 ^ p - 1$，并写出的除数 $n$明确: $1、2、4,\ ldots 2 ^ {p - 1}$而且 $P 2 P \ ldots 2 ^ {P - 1} P$．这些因数的和，除以几何级数公式,

$(2 ^ P - 1) + (2 ^ P - 1) P = 2 ^ (P - 1) (P + 1) = P - 1) (2 ^ 2 ^ P = 2 n。$

所以这些固有因数的和是 $n$．

对于“仅当”(欧拉)命题，指出了关于除数函数和的一些事实 $\σ(n)$，将是相关的。特别是, $\σ$是乘法： $\ \σ(a)σ(b) = \σ(ab)$如果 $a、b$相对'。

现在假设 $n$是一个偶完全数。然后编写 $N = 2^{a-1} b，$在哪里 $通用电气\ 2$而且 $b$是奇数。自 $n$是完美的, $\σ(n) = 2 n$．然后

$2 n = \σ(n) = \σ(2 ^{1})\σ(b) = (2 ^ a - 1) \σ(b)。$

所以 $(2 ^ a - 1) | 2 n$,因此 $(2 ^ a - 1) | n$,因此 $n = 2 ^ {1} (2 ^ a - 1) c$对于一些整数 $c$，将上述等式再次展开得到

$\开始{对齐}2 ^ (2 ^ a - 1) c & =σ(2 ^ a - 1) \ \大((2 ^ a - 1) c \大)\ \ 2 ac & ^ =σ\ \大((2 ^ a - 1) c \大)。结束\{对齐}$

但请注意，右边至少是 $c + c (2 ^ a - 1)$因为这是的两个约数 $(2 ^ a - 1) c$，这两个约数加起来等于 $2 ^交流$．所以结论是等式成立这是仅有的两个约数 $(2 ^ a - 1) c$．这只有在 $c = 1$而且 $2 ^ a - 1$是质数。这就完成了证明。 $_ \广场$

$（$练习:证明在哪里使用了 $通用电气\ 2 ?)$

下面是完全数的一些有趣的性质。与文献中的许多列表不同，这个列表受限于非平凡性质:例如，每个偶数完全数都是三角形数的事实是这个公式的一个平凡结果

$N = 2^{p-1}(2^p-1) = \frac{(2^p-1)2^p}2。$

1. 每个偶完全数都以数字结尾 $6$或 $28$(当写成十进制时)。
2. 任何偶完全数的迭代数字和 $6$是 $1$．
3. 唯一没有平方的完全数是 $6$．
4. 一个完全数是an矿石谐波数；也就是说,调和平均数它的除数之一是一个整数。(并非每个Ore调和数都是完美的，例如140。)
5. 如果一个奇完全数存在，它的大于 $300$数字,至少 $75$主要的因素,至少 $9$不同的质因数，并且至少有一个质因数 $20.$位数。

证明:以下是1-4的提示:

1. 这是根据mod-10和mod-100的分析得出的。如果 $p \枚1$国防部 $4$或 $p = 2$，对应的完全数以 $6$,如果 $p \枚3$国防部 $4$，它以 $28$ $（$提示:表明它是一致的 $3.$国防部 $25)。$

2. 证明每一个偶完全数除了 $6$是 $1$国防部 $9$．对数字求和并迭代保持同余类mod $9$．

3. 对于偶数，欧几里得-欧拉已经很清楚了;对于奇完全数，两个奇质因数会得到一个因子 $4$在 $\σ(n)$,但 $2 n$不整除 $4$．

4. 一个完全数的除数的调和平均数为 $\压裂{d (n)} 2$(为什么?), $d (n)$是除数的个数。现在 $d (n)$甚至,除非 $n$是平方数，但完全平方数不可能是完全数，因为它的除数和是奇数(为什么?)

5. 这代表了目前奇完全数数学研究的前沿。用来建立这些结果的方法似乎极不可能证明奇完全数不存在，因为它们只提供下界。也许在给定5的情况下，奇完全数的存在似乎不太可能，但有时有趣的现象只会发生在足够大的整数上。