Pascal的三角形

Pascal的三角形是通过在前行中的相邻元素求和来构造的三角形阵列。Pascal的三角形包含了值的二重传系数。它被命名为 $17 ^ \文本{th}$ 世纪法国数学家，Blaise Pascal（1623 - 1662）。

$1 \\ 1 \ quad 1 \\ 1 \ quad 2 \ quad 1 \\ 1 \ quad 3 \ quad 3 \ quad 1 \\ 1 \ quad 4 \ quad 6 \ quad 4 \ quad 1 \\ 1 \ quad 5 \Quad 10 \ Quad 10 \ Quad 5 \ Quad 1 \\ \ Cdots$

Pascal的三角形可用于可视化二项系系数的许多性质和二项式定理。

帕斯卡尔三角形建设

首先放置一个 $1$ 在一张纸的顶部中心。三角形的下一排由上一行中的相邻元素求和。因为没有什么旁边的 $1$ 在顶行中，认为相邻元件是 $0：$

重复此过程以生成每个后续行：

这可以无限期地重复;帕斯卡尔的三角形有一个无限行数：

帕斯卡尔三角形的符号

Pascal三角形的最顶行被认为是 $0 ^ \ text {th}$ 行。下一排是下落的 $1 ^ \ text {st}$ 行，然后是 $2 ^ \文本{nd}$ 行，等等。每行中最左边的元素被认为是 $0 ^ \ text {th}$ 该行中的元素。然后，在该元素的右侧是 $1 ^ \ text {st}$ 那行中的元素，那么 $2 ^ \文本{nd}$ 该行中的元素，等等。

与本公约有关 $我^ \ text {th}$ Pascal三角形的行包含 $I + 1$ 元素。

开始订单的公约 $0.$ 可能看起来很奇怪，但这是这样做的，以便阵列中的元素对应于值的值二重传系数。

让我们 $x_ {i，j}$ 是 $j ^ \ text {th}$ 元素在 $我^ \ text {th}$ 帕斯卡尔的三角形行，与 $0 \ j \ le i$ 。然后，

$x_ {i，j} = \ binom {i} {j}。$

Pascal三角形的这一属性是如何构建和以下身份的结果：

让我们 $N$ 和 $K.$ 是整数的 $1 \ k \ le n$ 。然后，

$\ binom {n} {k} = \ binom {n-1} {k-1} + \ binom {n-1} {k}。$

使用Pascal的三角形，是什么 $\ binom {6} {2}$ 还是

寻找 $2 ^ \文本{nd}$ 元素在 $6 ^ \文本{th}$ 行。该元素的价值将是 $\ binom {6} {2}$ 。

因此， $\ binom {6} {2} = 15$ 。 $_ \平方$

$\ begin {array} {rc} 0 ^ \ text {th} \ text {行：}＆1 \\ 1 \\ t \\ 1 ^ \ text {st} \ text {行：}＆1 \ quad 1 \\ 2 ^ \ text {n} \text{ row:} & 1 \quad 2 \quad 1 \\ 3^\text{rd} \text{ row:} & 1 \quad 3 \quad 3 \quad 1 \\ 4^\text{th} \text{ row:} & 1 \quad 4 \quad 6 \quad 4 \quad 1 \\ \vdots \ \ \ & \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \quad \cdot \end{array}$

帕斯卡尔的三角形如上所示 $0 ^ \ text {th}$ 排河 $4 ^ \ text {th}$ 行。什么是 $4 ^ \ text {th}$ 元素在 $10 ^ \ text {th}$ 行？

注意：每一行开始 $0 ^ \ text {th}$ 元素。例如， $0 ^ \ text {th}$ 那 $1 ^ \ text {st}$ 那 $2 ^ \文本{nd}$ ，和 $3 ^ \ text {rd}$ 本文的元素 $3 ^ \ text {rd}$ 行分别为1,3,3和1。

Pascal三角形的图案

Pascal的三角形是一种可视化许多涉及二项式系数的模式的方法。以下是这样做的一些方式：

二项式定理

当 $n ^ \ text {th}$ Pascal的三角形行包含扩展多项式的系数 $（x + y）^ n$ 。

拓展 $（x + y）^ 4$ 使用Pascal的三角形。

当 $4 ^ \ text {th}$ 行将包含扩展多项式的系数。

$（x + y）^ 4 = \ color {＃3d99f6} {1} x ^ 4 + \ color {＃3d99f6} {4} x ^ 3y + \ color {＃3d99f6} {6} x ^ 2y ^ 2 + \颜色{＃3d99f6} {4} xy ^ 3 + \ color {＃3d99f6} {1} y ^ 4$

曲棍球棒身份

从任何一个开始 $1$ “帕斯卡尔三角形左侧或右侧的元素。符合直线对角线的元素，并随时停止。然后，下一个元素对角线沿相反方向上的相反方向上将相等。

如果你开始 $r ^ \ text {th}$ 行并结束 $n ^ \ text {th}$ 行，这个总和是

$\ sum \ limits_ {k = r} ^ {n} \ binom {k} {r} = \ binom {n + 1} {r + 1}。$

使用Pascal的三角形，是什么 $\ displaystyle \ sum \ limits_ {k = 2} ^ {5} \ binom {k} {2}？$

从A开始 $1$ 在这一点 $2 ^ \文本{nd}$ 行，并在直线上对角线和总和的元素直到 $5 ^ \ text {th}$ 行：

$1 + 3 + 6 + 10 = 20。$

或者，只需在相反的方向上对角线向下查看下一个元素，这是 $20.$ 。 $_ \平方$

$\ begin {array} {c} 1 \ neg {array} \\ \ begin {array} {cc} 1＆1 \ neg {arrow} \\ begin {arrow} {ccc} 1＆2＆\ color {＃d61f06} {1} \ neg {array} \\ \ begin {array} {cccc} 1＆3＆3＆\ color {＃d61f06} {3}＆1 \ neg {arrow} \\ \ begin {arrow} {ccccc}1＆4＆\ color {＃d61f06} {6}＆4＆1 \ neg {array} \\ \ begin {arrow} {cccccc} \ vdots＆\ hphantom {\ vdots}＆\ vdots＆\ hphantom {\ vdots}＆vdots \ neg {array} \\ \ begin {arrow} {cccccc} 1＆25＆\ color {＃d61f06} {300}＆2300＆12650＆\ cdots \ neg {arrow {arrow {arrow} \\ \ begin} {CCCCCCC} 1＆26＆325＆2600＆14950＆\ cdots＆\ hphantom {1000} \结束{array} \\$

帕斯卡尔的三角形如上所示 $0 ^ \ text {th}$ 排河 $4 ^ \ text {th}$ 行，部分 $25 ^ \案文{th}$ 和 $26 ^ \文本{th}$ 行也在上面显示。

所有的总和是多少 $2 ^ \文本{nd}$ 每一排的元素到达 $25 ^ \案文{th}$ 行？

注意：要求和的可见元素以红色突出显示。

额外澄清：Pascal三角形的最顶行是 $0 ^ \ text {th}$ 行。然后，下一排是下行的 $1 ^ \ text {st}$ 行，等等。每行Pascal三角形的最左边的元素是 $0 ^ \ text {th}$ 元素。然后，右边的元素是 $1 ^ \ text {st}$ 该行中的元素，等等。

2的力量

元素的总和 $n ^ \ text {th}$ Pascal的三角形行等于 $2 ^ n$ 。

这是一种表达身份的方法

$\ sum \ limits_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} = 2 ^ n。$

$\ begin {array} {c} 1 \ neg {array} \\ \ begin {array} {cc} 1＆1＆1 \ neg {array} \\ \ begin {array} {ccc} 1和2＆1 \ neg {array} \\ \ begin {array} {cccc} 1和3＆3＆3 \ neg {array} \\ \ begin {array} {ccccc} 1和4和4＆4＆4＆4＆4＆4＆4＆4＆4＆4＆4 \ End {array} \\\ begin {array} {cccccc} \ vdots＆\ hphantom {\ vdots}＆\ vdots＆\ hphantom {\ vdots}＆\ vdots \ neat {array} \$

帕斯卡尔的三角形如上所示 $0 ^ \ text {th}$ 排河 $4 ^ \ text {th}$ 行。

什么是所有元素的总和 $12 ^ \文本{th}$ 行？

注意：Pascal三角形的最顶行是 $0 ^ \ text {th}$ 行。然后，下一排是下行的 $1 ^ \ text {st}$ 行，等等。

以下属性直接从上面的曲棍球棒标识：

三角形数字

当 $2 ^ \文本{nd}$ 元素在 $（n + 1）^ \ text {th}$ 行是 $n ^ \ text {th}$ 三角形。

这是一种表达身份的方法

$\ sum \ limits_ {k = 1} ^ {n} {k} = \ binom {n + 1} {2}。$

Sierpinski垫片

构建帕斯卡尔的三角形，甚至是用不同颜色的元素和奇数元素的阴影。阴影与Sierpinski垫片相同的图案：

这是一个应用卢卡斯的定理。

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