帕斯卡三角形

帕斯卡三角形是由前面行中相邻元素之和构成的三角形数组。帕斯卡三角形包含了二项式系数．它是以……命名的 $17 ^ \文本{th}$ 法国数学家布莱斯·帕斯卡(1623 - 1662)。

$1个4个1个4个2个4个1个4个3个4个1个4个1个4个4个4个4个6个4个4个1个4个5个4个10个4个10个5个4个1个cdots$

帕斯卡三角形可用来形象化二项式系数的许多性质二项式定理．

内容

构造帕斯卡三角形
帕斯卡三角形的符号
帕斯卡三角的模式

构造帕斯卡三角形

从放置一个 $1$ 在一张纸的顶部中心。三角形的下一行是由前一行的相邻元素之和构成的。因为旁边什么都没有 $1$ 在第一行中，相邻元素被认为是 $0：$

重复这个过程以生成后续的每一行:

这可以无限重复;帕斯卡三角形有无限的行数:

帕斯卡三角形的符号

帕斯卡三角形的最上面一行被认为是 $0 ^ \文本{th}$ 行。下一行是 $1 ^ \文本{圣}$ 行,那么 $2 ^ \文本{和}$ 行，等等。每一行中最左边的元素被认为是 $0 ^ \文本{th}$ 元素。然后，这个元素的右边是 $1 ^ \文本{圣}$ 元素，然后是 $2 ^ \文本{和}$ 元素，以此类推。

按照这个惯例，每个 $我^ \文本{th}$ 在帕斯卡三角形中包含 $我+ 1$ 元素。

以…开头的惯例 $0$ 可能看起来很奇怪，但这样做是为了使数组中的元素对应于二项式系数．

让 $间{i, j}$ 是 $j ^ \文本{th}$ 元素 $我^ \文本{th}$ 一行帕斯卡三角形，用 $0 \ \勒我$ ．然后,

$间{i, j} = \ binom{我}{j}。$

帕斯卡三角形的这个性质是由它的构造方式和下面的恒等式决定的:

让 $n$ 和 $k$ 是整数 $1 \ le k \ n$ ．然后,

$k \ binom {n} {} = \ binom {n} {k - 1} + \ binom {n} {k}。$

用帕斯卡三角形 $\ binom {6} {2}$ ？

寻找 $2 ^ \文本{和}$ 元素 $6 ^ \文本{th}$ 行。元素的值将是 $\ binom {6} {2}$ ．

因此, $\ binom {6} {2} = 15$ ． $_ \广场$

$\{数组}{rc}开始0 ^ {th} \ \文本文本{行:}& 1 \ \ 1 ^{圣}\ \文本文本{行:}& 1 \四1 \ \ 2 ^{和}\ \文本文本{行:}& 1 \四2 \四1 \ \ 3 ^ {rd} \ \文本文本{行:}& 1 \四3 \四\四\ \ 4 ^ {th} \ \文本文本{行:}& 1 \四4 \四6 \四\四1 \ \ \ vdots \ \ \ & \ cdot \四\ cdot \四\ cdot \四\ cdot \四\ cdot \四\ cdot \{数组}结束$

帕斯卡三角形如上所示 $0 ^ \文本{th}$ 行通过 $4 ^ \文本{th}$ 行。是什么 $4 ^ \文本{th}$ 元素 $10 ^ \文本{th}$ 行吗?

注意:每一行以 $0 ^ \文本{th}$ 元素。例如, $0 ^ \文本{th}$ ， $1 ^ \文本{圣}$ ， $2 ^ \文本{和}$ , $3 ^ \文本{rd}$ 的元素 $3 ^ \文本{rd}$ 行分别是1、3、3和1。

帕斯卡三角的模式

帕斯卡三角形是一种可视化许多涉及二项式系数的模式的方法。这里有一些方法可以做到:

二项式定理

的 $n ^ \文本{th}$ 帕斯卡三角形的行包含展开多项式的系数 $(x + y) ^ n$ ．

扩大 $(x + y) ^ 4$ 使用帕斯卡三角形。

的 $4 ^ \文本{th}$ 行将包含展开多项式的系数。

$(x + y) ^ 4 = {# 3 d99f6}{1} \颜色x ^ 4 + \颜色{# 3 d99f6} {4} x ^ 3 y + \颜色{# 3 d99f6} {6} x ^ 2 y ^ 2 + \颜色{# 3 d99f6} {4} xy ^ 3 + {# 3 d99f6}{1} \颜色y ^ 4$

曲棍球球棍的身份

从任何" $1$ “帕斯卡三角形左边或右边的元素。在一条直线上对角线求和元素，并在任何时候停止。然后，对角线方向相反的下一个元素将等于这个和。

如果你从 $r ^ \文本{th}$ 排和结束在 $n ^ \文本{th}$ 行，这个和是

$\ \和limits_ {k = r} ^ {n} \ binom {k} {r} = \ binom {n + 1} {r + 1}。$

用帕斯卡三角形 $\ displaystyle \总和\ limits_ {k = 2} ^ {5} \ binom {k} {2} ?$

从一开始 $1$ 在 $2 ^ \文本{和}$ 行，并沿对角线对元素求和，直到 $5 ^ \文本{th}$ 行:

$1 + 3 + 6 + 10 = 20。$

或者，简单地看下一个对角方向相反的元素，就是 $20.$ ． $_ \广场$

$\开始{数组}{c} 1 \结束数组{}\ \ \{数组}{cc}开始1 & 1 \结束数组{}\ \ \{数组}{ccc}开始1 & 2 & {# D61F06}{1} \颜色\结束数组{}\ \ \{数组}{预备}开始1 & 3 &颜色\ {# D61F06}{3} & 1 \结束数组{}\ \ \{数组}{ccccc}开始1 & 4 &颜色\ {# D61F06}{6} & 4 & 1 \结束数组{}\ \ \开始{数组}{cccccc} \ vdots & \ hphantom {\ vdots} & \ vdots & \ hphantom {\ vdots} &\vdots \end{array}\\ \begin{array}{cccccc} 1 & 25 & \color{#D61F06}{300} & 2300 & 12650 & \cdots \end{array}\ begin{array}{ccccccc} 1 & 26 & 325 & 2600 & 14950 & \cdots & hphantom{1000} \end{array}\\$

帕斯卡三角形如上所示 $0 ^ \文本{th}$ 行通过 $4 ^ \文本{th}$ 行，和部分 $25 ^ \文本{th}$ 和 $26 ^ \文本{th}$ 上面也显示了行。

所有这些的和是多少 $2 ^ \文本{和}$ 的每一行的元素 $25 ^ \文本{th}$ 行吗?

请注意:要求和的可见元素用红色突出显示。

额外的澄清:帕斯卡三角形的最上面一行是 $0 ^ \文本{th}$ 行。然后，下一行是 $1 ^ \文本{圣}$ 行，等等。帕斯卡三角形每一行最左边的元素是 $0 ^ \文本{th}$ 元素。然后，它右边的元素是 $1 ^ \文本{圣}$ 元素，以此类推。

2的幂

元素的和 $n ^ \文本{th}$ 帕斯卡三角形的行等于 $2 ^ n$ ．

这是一种表达身份的方式

$\ \和limits_ {k = 0} ^ {n} \ binom {n} {k} = 2 ^ n。$

${数组}{c} 1 \ \开始结束数组{}\ \ \{数组}{cc}开始1 & 1 \结束数组{}\ \ \{数组}{ccc}开始1 & 2 & 1 \结束数组{}\ \ \{数组}{预备}开始1 & 3 & & 1 \结束数组{}\ \ \{数组}{ccccc}开始1 & 4 & 6 & & 1 \结束数组{}\ \ \开始{数组}{cccccc} \ vdots & \ hphantom {\ vdots} & \ vdots & \ hphantom {\ vdots}和{数组}\ \ \ vdots \结束$

帕斯卡三角形如上所示 $0 ^ \文本{th}$ 行通过 $4 ^ \文本{th}$ 行。

所有元素的和是多少 $12 ^ \文本{th}$ 行吗?

请注意:帕斯卡三角形的最上面一行是 $0 ^ \文本{th}$ 行。然后，下一行是 $1 ^ \文本{圣}$ 行，等等。

下面的属性直接从上面的曲棍球棒身份得到:

三角形的数量

的 $2 ^ \文本{和}$ 元素 $文本(n + 1) ^ \ {th}$ 行是 $n ^ \文本{th}$ 三角形数．

这是一种表达身份的方式

$\ \和limits_ {k = 1} ^ {n} {k} = \ binom {n + 1}{2}。$

Sierpinski垫片

构建一个帕斯卡三角形，用不同颜色的偶数元素和奇数元素着色。阴影将在相同的模式，作为Sierpinski垫片:

这是一个应用卢卡斯定理．

有关……

内容