帕斯卡定理
帕斯卡定理是奥林匹德几何中一个非常有用的定理,用来证明圆上六个点之间三个交点的共线性。
声明
该定理表述如下:
帕斯卡定理
给定一个圆周上的6个点(可以是重合的) 和 按照这个顺序,圆的交点 和 , 和 , 和 共线。
证明
有许多不同的方法来证明这个定理,但一个简单的方法是使用斯巴达王的定理.
让 交集 和 让 交集 和 ,让 交集 和 我们将证明这三点共线。
让 交集 和 让 交集 和 ,让 交集 和 斯巴达王的 和行 ,我们有
斯巴达王的 和行 ,我们有
斯巴达王的 和行 ,我们有
把这些乘出来,我们得到
重新安排之后,我们得到
注意,通过一个点的幂次,我们得到
因此,上面的乘积简化为
所以,斯巴达王, 和 共线。
例子
考虑一个与三角形的外圆内切的圆 也与边相切 和 在 和 分别。表明, 穿过中心 的
一眼就能看出我们想要什么 为共线点,但这可能并不明显,特别是因为只有3点在圆周上。然而,如果我们把这个问题分解成小的、可管理的部分,我们就可以通过解决这个问题取得突破。
让 是外圆和较小的圆之间的切点(这个圆称为混合直线圆)。我们扩展 再次与圆相会 .我们声称 ,我们证明如下:
让 再次与混合直线圆相交于 ,让 为混合直线圆的中心。根据交替线段定理, 等于由 tan等于 ,所以 .我们将调用 和 .下面的角度追逐并不太难,留给读者作为练习。角度追逐导致 , 和 ,从中我们得到 和 ,所以 .因此, 是等腰,所以 .
这样,我们的主张就被证明了。从这个语句中,我们可以调用以下属性:
如果 圆周上的点是 在小弧上 当且仅当 角的等分线是 .
根据这个性质,我们得到 角的等分线是 .类似地,如果 被扩展为 , ,所以 角的等分线是 .现在我们终于可以应用帕斯卡定理了。根据帕斯卡定理 (按照线段的顺序并循环返回),我们得到 , 和 作为共线交点,这样就完成了。
证明极点和极的基本定理:
给定一个循环四边形 ,如果交点 和 是 交叉点 和 是 的交集 和 是 证明极性 通过 和 .
首先,这里有一些定义。让 是有半径的圆的圆心 , 任意一点,我们称之为极.让 是重点 (可能延伸)如此 .线通过 垂直于 被称为极地的 .极点和极点的一个唯一属性(有待读者证明)是,如果 是在圆圈里吗 是弦的端点和中点的切线的交点吗 .
解决这个问题的方法是用帕斯卡的。注意,即使两个或两个以上的点是重合的,Pascal也可以应用。让我们考虑六边形中的帕斯卡 .然后, , (通过重合点的直线与圆相切) 共线。同样的,如果我们用帕斯卡 ,我们有 , 和 .因此, , , 和 共线。一个类似的论证表明 , , 和 共线。从这里,利用这个事实 是切线吗,等等,得到了吗 平行于 ,从中我们可以得出结论 是一极 .