整数分区

A.分区一个正整数 $N$表达了 $N$作为一个或多个正整数的总和（或零件）。“总和”中的整数顺序“无关紧要”：也就是说，两个包含不同顺序相同整数的表达式被认为是相同的分区。

不同分区的数量 $N$表示 $p（n）$。此功能称为分区功能。

分区 $5.$如下：

$\ begin {对齐}＆5 \\＆4 + 1 \\＆3 + 2 \\＆3 + 1 + 1 \\＆2 + 2 + 1 \\＆2 + 1 + 1 + 1 \\＆1 + 1 + 1 + 1 + 1。\结束{对齐}$

所以 $p（5）= 7$。

组合功能如 $p（n）$经常借给自己递归这使得它们更容易计算。例如，考虑分解的数量 $N$作为正整数的总和，其中顺序举行物质（有时叫组合物）。让我们 $c（n）$是组成的数量 $N$。例如， $C（3）= 4$因为 $3 = 1 + 1 + 1 = 1 + 2 = 2 + 1 = 3$。

然后有递归 $c（n）$：如果第一项组成 $N$是 $K.$，其余术语是一种组成 $N-K.$。所以这些组合物的数量是 $c（n-k）$。这导致递归公式 $C（n）= c（n-1）+ c（n-2）+ \ cdots + c（1）+ 1。$解决此递归并不难：注意 $c（n + 1）= c（n）+ c（n-1）+ \ cdots + c（1）+1 = c（n）+ c（n）= 2c（n）$，和 $C（1）= 1$，所以 $c（n）= 2 ^ {n-1}$。（为读者练习：该公式的直接，非递归证明也是如此。）

然而，由于可以过度计数分区，以相同的方式对分区函数的方法不那么简单。例如，一个分区 $4.$从中开始 $1$是 $1 + 2 + 1$，它对应于分区 $2 + 1$of $3.$和一个分区 $4.$从中开始 $2$是 $2 + 1 + 1$，它对应于分区 $1 + 1$of $2$;但是这些是相同的分区此外，任何递归公式必须避免两次计数它们。

事实上，没有封闭式的公式 $p（n）$在任何有意义的意义上。关于分区功能的许多脚踏性问题是非常困难和神秘的：例如，甚至不知道是否有无限的 $N$这样 $p（n）$是可分开的 $3.$。

分区被图案地表示令人息桃图：置换的每个部分由一行点表示，其中点数等于该部件。像零件一样的行按尺寸下降顺序排列：

$\ begin {对齐}＆\ bullet \，\ bullet \，\ bullet \\＆\ bullet \，\ bullet \\＆\ bullet \，\ bullet \\＆\ bullet \ nump {alpliged}$

此图表代表分区 $8 = 3 + 2 + 2 + 1$。

年轻的图是类似的，但使用正方形而不是点。这是年轻的图表 $10 = 5 + 4 + 1$：

从分区图中最容易理解的一个概念是共轭的概念。

让我们 $\ PI.$part $N$，让我们 $A_K.$是部分的 $\ PI.$那是 $\ Ge K.$。假设最大的部分是 $D.$。然后是共轭of $\ PI.$是分区

$n = a_1 + a_2 + \ cdots + a_d。$

在定义中有一些东西可以证明，即该总和 $A_I.$实际上是等于 $N$。要看到这一点，请注意大小的一部分 $B.$被计算一次 $A_1，A_2，\ LDOTS，A_B$。所以，大小的一部分 $B.$贡献 $B.$到总和，因此总和与部分的总和相同 $\ PI.$。

这不是考虑共轭分区的最简单方法。它们最简单地描述了尺码图：共轭分区的传感器图是通过沿着左上向右下对角线的反射的原始分区的Ferrers图获得。操作类似于a矩阵转换;图表的列更改为行，行更改为列。

分区 $8 = 3 + 2 + 2 + 1$有以下条件图：

$\ begin {对齐}＆\ bullet \，\ bullet \，\ bullet \\＆\ bullet \，\ bullet \\＆\ bullet \，\ bullet \\＆\ bullet \ nump {alpliged}$

它的共轭物具有以下特征图：

$\ begin {对齐}＆\ bullet \，\ bullet \，\ bullet \，\ bullet \\＆\ bullet \，\ bullet \，\ bullet \\＆\ bullet \ neg {aligned}$

所以，它是 $8 = 4 + 3 + 1$。

注意，通过Ferrers图描述的描述没有任何工作，其中缀合两次返回原始分区，这不一定立即从缀合的定义中清除。

共轭分区用于许多基点证据结果关于分区;这是一个基本示例。

表明这个数字 $p（n，k）$正整数的分区 $N$到底 $K.$零件等于分区的数量 $N$谁最大的部分等于 $K.$。例如， $7 = 5 + 1 + 1 = 4 + 2 + 1 = 3 + 2 + 2 = 3 + 3 + 1$和 $7 = 3 + 3 + 1 = 3 + 2 + 2 = 3 + 2 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1 + 1 + 1$，所以 $p（7,3）= 4$。

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让我们 $s（n，k）$是一组分区 $N$进入 $K.$零件和让 $t（n，k）$是一组分区 $N$谁最大的部分等于 $K.$。然后有一个杀菌剂 $f \ colon s（n，k）\ to t（n，k）$由 $f（\ pi）=$缀合物 $\ PI.$。这是因为分区的尺码图 $s（n，k）$有一列长度 $K.$，所以它的缀合物有顶部的长度 $K.$。和 $F.$是一种自由度，因为它具有逆图，即缀合。所以两套具有相同的大小。 $_ \平方$

例如， $n = 7，k = 3$，功能 $F.$是

$\ begin {对齐} f（5 + 1 + 1）＆= 3 + 1 + 1 + 1 + 1 \\ f（4 + 2 + 1）＆= 3 + 2 + 1 + 1 \\ f（3 + 2+2）＆= 3 + 3 + 1 \\ f（3 + 3 + 1）＆= 3 + 2 + 2。\结束{对齐}$

其他例子在Wiki上给出基点证据。

主要文章：生成功能

关于具有复杂组合证据的分区的许多定理更容易，更容易通过生成功能。正常情况往往是这种情况电源系列形式 $\ sum a_n x ^ n$，在那里 $A_N.$计算某些类型的分区，可以以有用的方式表示为无限产品。

表达 $\ displaystyle \ sum_ {n = 0} ^ \ idty p（n）x ^ n$作为电源系列无限产品。

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考虑该产品 $\ big（1 + x + x ^ 2 + x ^ 3 + cdots \ big）\ big（1 + x ^ 2 + x ^ 4 + x ^ 6 + cdots \ big）\ big（1 + x ^ 3+ x ^ 6 + x ^ 9 + \ cdots \ big）（\ cdots）。$系数 $x ^ n$在这种扩展中是 $p（n）$：假设一个分区 $N$有 $A_1$1s， $A_2.$2s等。然后 $n = a_1 + 2a_2 + \ cdots + na_n$，这对应于延长无限产品的术语 $x ^ {a_1}$从第一笔和，时间 $x ^ {2a_2}$从第二个和等等。

使用几何系列重写这一点 $\ sum_ {n = 0} ^ \ idty p（n）x ^ n = prod_ {k = 1} ^ {\ idty} \ frac1 {1-x ^ k}。\ _ \ square$

欧拉的五角形数字定理

产品 $\ prod_ {k = 1} ^ {\ infty} \ big（1-x ^ k \ big）= 1 - x - x ^ 2 + x ^ 5 + x ^ 7- x ^ {12} - \ cdots$等于 $\ sum_ {m = - \ idty} ^ {\ idty}（-1）^ m x ^ {\ frac {m（3m-1）} 2}。$

注意：表格的数量 $\ frac {m（3m-1）} 2$被称为五角形数字。

也可以使用分区证明定理：系数 $x ^ K.$在产品中，计算分区的数量 $K.$偶数数量减去分区 $K.$有一个奇数的零件。它可以显示（使用Ferrers图），除非存在这两组分区，否则存在两组分区 $K.$是五角形的数字，在这种情况下，捕获具有一个特定分区的组之间存在双射。

欧拉的五角形数字定理意味着以下美丽的复发关系 $p（n）$： $p（n）= p（n-1）+ p（n-2）-p（n-5）-p（n-7）+ p（n-12）\ cdots，$在哪里的标志 $p（n-k）$与标志相反 $x ^ K.$在欧拉五角形号码定理中的总和扩展。