部分分式——掩盖法则

在部分分式分解中掩盖事实真相规则是一种在部分分式分解中求线性项系数的方法。这是在部分分式中寻找常数的一种更快的方法。只有当分母是的乘积时，我们才能应用这个法则线性因子．

为了清楚地理解这个维基，你应该已经知道一些基本的方法有理函数转化成相应的部分分式。当部分分式分解中的分母仅由线性因子或线性和的组合组成时，掩盖规则适用于计算线性项的系数不可约的因素．

为了使用掩盖法计算系数，首先建立一个部分分式分解，在分母中每个因子都有一个项。例如，如果分母有三个不同的线性项，我们就可以进行分解

$\压裂{f (x)} {(x)(取向)(得到)}= \压裂{一}{x} + \ \压裂压裂{B}{取向}+ C{}{得到}。$

然后通过掩盖法， $一个$可以通过掩盖这一项来计算吗 $(入)$代入左边的分母 $x =一个$在剩下的表达式中。这是可行的，因为计算相当于整个表达式乘以一项 $(入)$然后做替换 $x =一个$．这给了

$= \压裂f () {} {(A - b) (A - c)}。$

同样的,用 $x = b$和 $x = c$，我们可以计算 $B$和 $C$:

$B = \压裂{f (B)}, {(B) (C)} \四C = \压裂{f (C)} {(C - a) (cb)}。$

注意:记住，为了应用部分分式，分子上的多项式的次数必须严格小于分母上的多项式的次数。如果不是这样，那么有必要首先应用多项式除法，得到一个商多项式和余数，其中分子的次数严格小于分母的次数。然后可将部分分式应用于余数。

下面是一个关于如何使用部分分式规则进行因式分解的基本示例。

已知部分分式

$\压裂{3 x} {(x - 1) (x + 2)} = \压裂{一}{x - 1} + \压裂{B} {x + 2},$

价值是什么 $A + B ?$

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注意这个部分分式有两个不同的线性因子。获得 $一个$，掩盖因子 $(x - 1)$在左边代入 $x = 1$进入剩余的条款获取

${1+2} ={1+ 1} = 1。$

同样,计算 $B$,替代 $x = 2$成 $\压裂{3 x} {x - 1}$得到

${-2 - 1} ={-3} = 2。$

因此, $A + b = 1 + 2 = 3$． $_ \广场$

根据对应用部分分式的理解，试一下下面的问题。

本节与可以应用掩盖规则的场景相关联。下面是一些基于该规则应用的例子和问题:

求的部分因子分解

${x^2 + x -1}{x(x^2-1)}$

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分母是 $x (x ^ 2 - 1) = x (x - 1) (x + 1)$，它是不同线性因子的乘积。则部分因子分解为

$\压裂{x ^ 2 + 1} {x (x + 1) (x - 1)} = \ \压裂压裂{一}{x} + {B} {x + 1} + \压裂{C} {x - 1}。$

来计算 $一个$把这个词盖起来 $x$代入左边的分母 $x = 0$在余下的条款中获得 ${(0+1)(0-1)} = = 1$．同样,掩盖 $(x + 1)$和替代 $x = 1$获得 $B = \压裂{1}{2}$和掩盖 $(x - 1)$和替代 $x = 1$获得 $C = \压裂{1}{2}$．因此，部分分式分解为

$\压裂{x ^ 2 + x - 1} {x (x ^ 2 - 1)} = \压裂{1}{x} - \压裂{1}{2}(x + 1) + \压裂{1}{2 (x - 1)}。\ _ \广场$

已知部分分式

$\压裂{6 x} {(x ^ 2 + 2) (x - 1)} = \压裂{Ax + B} {x ^ 2 + 2} + \压裂C {} {x - 1},$

价值是什么 $A + B + C ?$

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这种部分分式分解有一个不可约二次因子和一个线性因子。我们计算线性项系数 $C$通过掩盖这一项 $x - 1$代入左边 $x = 1$变成剩下的条款。这给了 $C = 0{1^2+2} =2。$计算 $一个$和 $B$，我们代入这个值 $C$代入方程得到

${对齐}\ \开始压裂{6 x} {(x ^ 2 + 2) (x - 1)} & = \压裂{Ax + B} {x ^ 2 + 2} + \压裂{2}{x - 1} \ \ \压裂{6 x} {(x ^ 2 + 2) (x - 1)} - \压裂{2}{x - 1} & = \压裂{Ax + B} {x ^ 2 + 2} \ \ \压裂{6 x - 2 (x ^ 2 + 2)} {(x ^ 2 + 2) (x - 1)} & = \压裂{Ax + B} {x ^ 2 + 2} \ \ \压裂(x - 1) (x - 2) {2} {(x ^ 2 + 2) (x - 1)} & = \压裂{Ax + B} {x ^ 2 + 2} \ \ \压裂{2 (x - 2)} {(x ^ 2 + 2)} & = \压裂{Ax + B} {x ^ 2 + 2}。结束\{对齐}$

因此, $= 2, B = 4$,这使 $A + b + c = -2 + 4 +2 =4$． $_ \广场$

本题考查对阶乘掩盖规则用法的理解。

下面两题中的长方程，应用部分分式法则，可以很容易地简化为较短的形式。

进一步的问题也需要明智地使用部分分式规则来解决。

本节包含几个问题，试图通过使用部分分式规则来培养解决问题的技能。

• 多项式因式分解

• 方法的差异

• 伸缩式系列

• 多项式插值