偏导数gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba偏导数gydF4y2Ba多元函数的瞬时变化率或函数在一个坐标方向上的斜率。在计算上，部分微分的工作方式与单变量相同gydF4y2Ba分化gydF4y2Ba其他变量都是常数。gydF4y2Ba

函数的偏导数gydF4y2Ba $f (x, y)gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$-方向可以看作是单变量函数的一般导数gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$交叉形成的gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$平面为常数gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$在任何给定的点。一个特定的平面常数gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$得到的单变量函数(红色部分)如上图所示。gydF4y2Ba

偏导数在高级物理和工程领域的方程中无处不在，包括gydF4y2Ba量子力学gydF4y2Ba，gydF4y2Ba广义相对论gydF4y2Ba，gydF4y2Ba热力学gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba统计力学gydF4y2Ba，gydF4y2Ba电磁gydF4y2Ba，gydF4y2Ba流体动力学gydF4y2Ba，以及更多。通常，他们出现在gydF4y2Ba偏微分方程gydF4y2Ba，分别是gydF4y2Ba微分方程gydF4y2Ba包含一个以上偏导数的。gydF4y2Ba

偏导数的定义gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$-函数的方向gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$两个变量gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$\压裂{\部分f} {x} \部分= \ lim_ h \{0} \压裂{f (x + h, y) - f (x, y)} {h}。gydF4y2Ba$

将这个定义扩展到两个以上的变量是很简单的:除了导数中的变量外，所有变量在上面的定义中都是固定的。方向以外的偏导数也是如此gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$-方向:例如，对于的偏导数gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-方向上面分子的第一项取为gydF4y2Ba $f (x, y + h)gydF4y2Ba$．注意，这个定义是通常定义切线斜率的差商，除了额外的变量是固定的。gydF4y2Ba

偏导数的符号因上下文的不同而有很大的不同。在物理学中常用的左手边的简写符号包括gydF4y2Ba $\ partial_x fgydF4y2Ba$，而数学家则经常写作gydF4y2Ba $f_xgydF4y2Ba$(尽管这可能是模棱两可的)。在这里gydF4y2Ba $f (x, t)gydF4y2Ba$是空间的函数吗gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$和时间gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$，点导数gydF4y2Ba $f \点{}gydF4y2Ba$通常表示对时间的偏导数gydF4y2Ba $\ partial_tgydF4y2Ba$而撇导数gydF4y2Ba $f ^ {\ '}gydF4y2Ba$通常表示对空间的偏导数gydF4y2Ba $\ partial_xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

所有一般单变量导数的规则都适用于偏导数:gydF4y2Ba

• 线性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $\partial_x (af + bg) = a\partial_x f + b \partial_x g，gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $a、bgydF4y2Ba$都是常数gydF4y2Ba $f, ggydF4y2Ba$是功能。gydF4y2Ba
• 乘法法则gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $\partial_x (fg) = f\partial_x g + g\partial_x fgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba
• 链式法则gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $\partial_x f\big(g(x)\big) = \frac{\partial f}{\partial g}\frac{\partial g}{\partial x}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

由于除法法则和其他法则，如幂法则、对数和三角函数的微分法则等，都可以由上面的运用推导出来gydF4y2Ba泰勒级数gydF4y2Ba在美国，它们并没有单独列出，但所有这些规则仍然有效。gydF4y2Ba

求偏导数gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$方向的gydF4y2Ba

$F (x,y) = \sin (xy)gydF4y2Ba$

首先，直接从定义出发，其次，将偏导数视为普通导数，其他变量保持不变。gydF4y2Ba

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堵塞gydF4y2Ba $F (x,y) = \sin (xy)gydF4y2Ba$在定义中给出gydF4y2Ba

$\压裂{\部分f}{\偏y} = \ lim_ h \{0} \压裂{f (x, y + h) - f (xy)} {h} = \ lim_ h \{0} \压裂{\罪\大(x (y + h) \大)- \罪(xy)} {h} = \压裂{\罪(xy + hx) - \罪(xy)} {h}。gydF4y2Ba$

现在，使用gydF4y2Ba三角恒等式gydF4y2Ba对于这个和，右边可以写成gydF4y2Ba

$\压裂{\部分f}{\偏y} = \压裂{\罪(xy + hx) - \罪(xy)} {h} = \ lim_ h \{0} \压裂{\罪(xy) \大(\ cos (hx) 1 \大)+ \ cos (xy) \罪(hx)} {h}。gydF4y2Ba$

求右边的极限gydF4y2Ba洛必达法则gydF4y2Ba，人们发现gydF4y2Ba

$\压裂{\部分f}{\偏y} = \ lim_ h \{0} \大(- x \罪(xy) \ sin (hx) + x \ cos (xy) \ cos (hx) \大)= x \ cos (xy)。gydF4y2Ba$

用偏导数代替gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$-variable作为常数，则gydF4y2Ba链式法则gydF4y2Ba给了gydF4y2Ba

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial y} \big(\sin (xy)\big) = x\cos (xy)gydF4y2Ba$

与第一种方法一致。这个例子证明了第二种方法(将所有不涉及导数的变量视为常数)通常比直接从定义计算偏导数更方便。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

原函数gydF4y2Ba $F (x,y) = \sin (xy)gydF4y2Ba$以及它的偏导gydF4y2Ba $\ partial_y fgydF4y2Ba$如下图所示:gydF4y2Ba

左:的图形gydF4y2Ba $F (x,y) = \sin (xy)gydF4y2Ba$．右:偏导数图gydF4y2Ba $\partial_y f = x\cos (xy)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

的偏导是什么gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$-函数的方向gydF4y2Ba $F (x,y) = x²y²gydF4y2Ba$在这一点上求值gydF4y2Ba $(1,1) ?gydF4y2Ba$

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各处的偏导由gydF4y2Ba

$\partial_x f = \partial_x \big(x^2 y^2\big) = 2xy^2。gydF4y2Ba$

评估在gydF4y2Ba $(x,y) = (1,1)gydF4y2Ba$给了gydF4y2Ba

$\ partial_xf \bigr|_{(1,1)} = 2(1)(1)^2 = 2。\ _ \广场gydF4y2Ba$

由于每个坐标都有一个偏导数算子，函数的偏导数可以被排列成一个向量，称为gydF4y2Ba梯度gydF4y2Ba和表示gydF4y2Ba $vec{\微分算符}\ fgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$\vec{\nabla} f = \左lang \frac{\偏f}{\偏x}， \frac{\偏f}{\偏y}， \frac{\偏f}{\偏z} \右rangle。gydF4y2Ba$

上面的定义是针对三维情况编写的，但推广到任意维度(仅包括二维)是直接的;矢量的每个分量都是在独立坐标方向上的偏导数。操作员gydF4y2Ba $vec{\ \微分算符}gydF4y2Ba$常被称为梯度算子或gydF4y2Ba倒三角形gydF4y2Ba．它可以看作是一个由导数算子组成的向量:gydF4y2Ba

$\vec{\nabla} = \左lang \frac{\partial}{\partial x}， \frac{\partial}{\partial y}， \frac{\partial}{\partial z} \右rangle。gydF4y2Ba$

通过在向量运算如叉乘和点积中使用del运算符，新型的类导数对象称为gydF4y2Ba旋度gydF4y2Ba $\vec{\nabla} \times \vec{F}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba散度gydF4y2Ba $\ vc {\nabla} \cdot \ vc {F}gydF4y2Ba$可以在向量场上定义吗gydF4y2Ba $vec {F} = \ \大\ langle F (x, y, z),₂(x, y, z) \ ldots \ \大捕杀gydF4y2Ba$在多元微积分中。gydF4y2Ba

求向量场的散度gydF4y2Ba $vec {F} = \ \左\ langle \压裂{x} {x ^ 2 + y ^ 2}, \压裂{y} {x ^ 2 + y ^ 2} \ \捕杀gydF4y2Ba$原点以外的所有地方。gydF4y2Ba

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将del算子视为一个向量，散度由点积给出gydF4y2Ba

$\开始vec{\微分算符}{对齐}\ \ cdot vec {F} & = \ \左\ langle \压裂{\部分}{x} \部分,\压裂{\部分}{\偏y} \ \纠正\ cdot \左右\ langle \压裂{x} {x ^ 2 + y ^ 2}, \压裂{y} {x ^ 2 + y ^ 2} \右\纠正\ \ & = \压裂{\部分}{x} \部分\离开(\压裂{x} {x ^ 2 + y ^ 2} \右)+ \压裂{\部分}{\偏y} \离开(\压裂{y} {x ^ 2 + y ^ 2} \) \ \ & = \压裂{2}{x ^ 2 + y ^ 2} + \压裂{- x (2 x)}{\大(x ^ 2 + y ^ 2 \大)^ 2}+ \压裂{- y (2 y)}{\大(x ^ 2 + y ^ 2 \大)^ 2}\ \ & = 0。\ _\方形\端{对齐}gydF4y2Ba$

计算高阶偏导数的方法与单变量微积分的方法相同;简单地应用导数运算符多次:gydF4y2Ba

$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial x} = \partial^2_{xx} f = f_{xx}，gydF4y2Ba$

最右边的表达式是关于的二阶偏导的另一种写法gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．如果两个导数算子不相同，则高阶偏导数称为agydF4y2Ba混合偏导数gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y} = \partial^2_{xy} f = f_{xy}。gydF4y2Ba$

通常(但不总是!)不同方向的偏导数转换为:gydF4y2Ba

$\partial^2_{xy} f = \partial^2_{yx} f。gydF4y2Ba$

只要两个混合偏导数都是gydF4y2Ba连续gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

表示函数的混合偏导数gydF4y2Ba

$f (x, y) ={病例}\ \开始dfrac {xy (x ^ 2 y ^ 2)} {x ^ 2 + y ^ 2} \四& (x, y) \ neq 0(0,0) \ \ \ \ \四& (x, y) =(0,0) \{病例}结束gydF4y2Ba$

在原点不相等，即偏导数在gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$- - -gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-方向不交换[1]。gydF4y2Ba

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的偏导数的限制条件gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$到gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$- - -gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$相互重合。仅限于gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$设在gydF4y2Ba $(y = 0)gydF4y2Ba$在原点之外，gydF4y2Ba $\ partial_y fgydF4y2Ba$看起来像gydF4y2Ba

$\ partial_y f = \压裂{x ^ 5 - 4 x ^ 3 y ^ 2 x y ^ 4} {(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} \ Biggr | _ {y = 0} = x,gydF4y2Ba$

并且仅限于gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$设在gydF4y2Ba $(x = 0)gydF4y2Ba$在原点之外，gydF4y2Ba $\ partial_x fgydF4y2Ba$相似的是gydF4y2Ba

$\ partial_x f = \压裂{x ^ 4 y + 4 x ^ 2 y ^仍^ 5}{(x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2} = - y。gydF4y2Ba$

在原点，gydF4y2Ba $f \部分^ 2 _ {xy}gydF4y2Ba$对应于gydF4y2Ba $\ partial_xgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $\ partial_y fgydF4y2Ba$的导数gydF4y2Ba $\ partial_y fgydF4y2Ba$沿着gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$设在。同样的,gydF4y2Ba $f \部分^ 2 _ {y}gydF4y2Ba$对应于gydF4y2Ba $\ partial_ygydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $\ partial_x fgydF4y2Ba$的导数gydF4y2Ba $\ partial_x fgydF4y2Ba$沿着gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$设在。由于只有一阶导数对坐标轴的限制关系到原点处二阶导数的计算，上述表达式就足够了。混合偏导数是gydF4y2Ba

$\partial^2_{xy} = 1 \neq \partial^2_{yx} = -1，gydF4y2Ba$

所以偏导gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$- - -gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$-方向不通勤。gydF4y2Ba

这是由于混合偏导数不能连续的结果，从图中可以看出gydF4y2Ba $f: \部分^ 2 _ {xy}gydF4y2Ba$混合二阶偏导数的不同值对应着从不同方向接近原点时混合二阶偏导数表达式的不同极限。gydF4y2Ba

就像一阶偏导数可以被排列成一个向量(梯度)一样，二阶偏导数可以被排列成一个矩阵，称为gydF4y2Ba海赛矩阵gydF4y2Ba：gydF4y2Ba

$H(f) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \end{pmatrix}。gydF4y2Ba$

黑森的行列式在描述一阶偏导数之一消失的临界点的稳定性时很重要，类似于的使用gydF4y2Ba二阶导数检验gydF4y2Ba在单变量微积分中。gydF4y2Ba

当处理多元函数时，我们经常会看到用gydF4y2Ba $dgydF4y2Ba$而不是gydF4y2Ba $\部分gydF4y2Ba$．这些导数被称为gydF4y2Ba总衍生品gydF4y2Ba和偏导数不同。例如，考虑一个函数gydF4y2Ba $f (x, t)gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $x (t)gydF4y2Ba$本身就是一个依赖时间的位置。自gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$本身是随时间变化的，随时间变化的gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$不仅取决于显式的形式gydF4y2Ba $f (x, t)gydF4y2Ba$但也在路上gydF4y2Ba $x (t)gydF4y2Ba$．这一点可以通过总导数得到gydF4y2Ba

$\frac{df}{dt} = \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial t}。gydF4y2Ba$

第一项给出了的隐式依赖gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$的时间依赖关系gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$通过链式法则，而第二项表示的显式依赖gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

计算关于的总导数gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba

$F (x,t) = x²+ t²，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$表示参数化的路径gydF4y2Ba $X (t) = \sin(t)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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的隐式依赖gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} = 2x \cos t = \sin (2t)。gydF4y2Ba$

的显式依赖gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba

$\frac{\partial f}{\partial t} = 2t。gydF4y2Ba$

所以总导数是gydF4y2Ba

$\frac{df}{dt} = \sin(2t) + 2t。gydF4y2Ba$

还有一个gydF4y2Ba $罪\ t (2)gydF4y2Ba$的时间依赖项gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$它不存在于对的偏导中gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

通常，在计算偏导数时，假定除一个外的所有坐标方向都是固定的。然而，在某些情况下(特别是在热力学中)，偏导数的固定量是其他坐标变量的某种组合(如理想气体的熵，它是温度和体积的函数)。函数偏导数的符号gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$相对于坐标gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$持有数量gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$固定是gydF4y2Ba

$\left(\frac{\partial f}{\partial x} \right)_y \quad \text{或}\quad \frac{\partial f}{\partial x} \biggr|_y。gydF4y2Ba$

使用这种表示法，可以编写一个方便的标识，称为gydF4y2Ba三重积恒等式gydF4y2Ba对于偏导数:gydF4y2Ba

$\左(\frac{\partial x}{\partial y}\右)_z \左(\frac{\partial y}{\partial z}\右)_x \左(\frac{\partial z}{\partial x}\右)_y = -1。gydF4y2Ba$

这个恒等式推广到的循环积gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$偏导数，右边由gydF4y2Ba $(1) ^ ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

理想气体的热容定义为输入热量对温度变化的偏导数。也就是说，热容量化了理想气体的温度对热量的响应程度。然而，根据系统的外部维护方式，热容可能会取不同的值。两种标准定义是恒容热容gydF4y2Ba $C_VgydF4y2Ba$以及恒压下的热容gydF4y2Ba $C_PgydF4y2Ba$，定义为gydF4y2Ba

$C_P= \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_V， \quad C_P= \left(\frac{\partial Q}{\partial T}\right)_P。gydF4y2Ba$

广泛的推导表明，两者的热容之差为gydF4y2Ba

$C_V - C_P = \压裂{T \离开(\压裂{\部分V}{\部分T} \右)_P ^ 2}{\离开(\压裂{\部分V}{\部分P} \右)_T}。gydF4y2Ba$

对于一个gydF4y2Ba理想气体gydF4y2Ba $(PV = nRT)，gydF4y2Ba$用气体的摩尔数来计算热容量的差值gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$气体常数gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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用理想气体定律计算公式中的每一个偏导，gydF4y2Ba

$\begin{aligned} \left(\frac{\partial V}{\partial T} \right)_P &= \frac{\partial}{\partial T} \left(\frac{\partial V}{\partial P} \right) = \frac{\ nR}{P} \left(\frac{\partial V}{\partial P} \left(\frac{\ nRT}P\right) = -\frac{nRT} {P²}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$

代入所给公式，热容之差为gydF4y2Ba

$C_V - C_P = \压裂{T \离开(\压裂{\部分V}{\部分T} \右)_P ^ 2}{\离开(\压裂{\部分V}{\部分P} \右)_T} = - \压裂{T \离开(\压裂P {nR} \右)^ 2}{- \离开(\压裂{nRT} {P ^ 2} \右)}= nR。gydF4y2Ba$

这个结果提供了具体的物理证明，在计算偏导数时所持有的固定的量很重要。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

偏导数在数学和物理科学中经常见到gydF4y2Ba偏微分方程gydF4y2Ba，即包含一个以上偏导数的微分方程。就像平常一样gydF4y2Ba微分方程gydF4y2Ba偏微分方程通常是通过对系统在小时间或空间间隔内的小变化进行建模而产生的，偏微分方程通常是通过对系统在两个时间间隔内的小变化进行建模而产生的gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba空间，特别是当时间的变化影响空间的变化，反之亦然。下面列出了几个特别重要的偏微分方程，并对每个偏微分方程产生的背景进行了描述，说明偏导数对于理解整个物理科学中的各种现象是必不可少的:gydF4y2Ba

• 波动方程:gydF4y2Ba $\displaystyle \frac{1}{v^2} \partial_t^2 u= \partial_x^2 ugydF4y2Ba$
  的gydF4y2Ba波动方程gydF4y2Ba描述振幅振荡的传播gydF4y2Ba $u (x, t)gydF4y2Ba$一些物体，包括光波，压力波(声音)，和物理物体的振动，如绳索。解一般可以写成函数的线性组合gydF4y2Ba $f (x + v)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $f (x-vt)gydF4y2Ba$波的:描述波在时间上随速度向左或向右传播的gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

• 薛定谔方程gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $\displaystyle i\hbar\partial_t \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \partial_x^2 \psi + V \psigydF4y2Ba$
  Schrödinger方程支配着波函数的演化gydF4y2Ba $\ psi (x, t)gydF4y2Ba$在量子力学中描述质量粒子gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$移动到势能中gydF4y2Ba $V (x)gydF4y2Ba$．它说粒子位置的概率分布的“速度”与波函数的曲率成正比。在空间中定位一个粒子会使波函数在一个小区域内产生巨大的曲率，因此概率分布会想要从这个区域迅速向外移动，表现为gydF4y2Ba海森堡测不准原理gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

• 热方程:gydF4y2Ba $\displaystyle \partial_t T = \alpha \partial_x^2 TgydF4y2Ba$
  热方程类似于Schrödinger方程gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$设为0。它描述了温度的扩散。类似于Schrödinger的情况，热量向外膨胀的速率与二阶导数或“曲率”成正比，其中大曲率对应于大量的热量被限制在一个小区域。gydF4y2Ba

• n - s方程:gydF4y2Ba $\displaystyle \big(\partial_t + u_j \partial_{x_j} - \nu \partial^2_{x_j x_j}\big) u_i = - \partial_{x_i} w + g_igydF4y2Ba$
  Navier-Stokes方程在流体动力学中极为重要，因为它们约束了速度gydF4y2Ba $u_jgydF4y2Ba$一种流动液体的gydF4y2Ba $j ^ \文本{th}gydF4y2Ba$坐标方向,gydF4y2Ba $x_jgydF4y2Ba$．常数gydF4y2Ba $\νgydF4y2Ba$定义了粘度，gydF4y2Ba $wgydF4y2Ba$定义提供给系统的功gydF4y2Ba $g_igydF4y2Ba$控件中对系统施加的加速度gydF4y2Ba $我^ \文本{th}gydF4y2Ba$坐标方向(例如从重力方向)。gydF4y2Ba

• 爱因斯坦场方程:gydF4y2Ba $\ displaystyle R_{\μ\ν}- R \ frac12 g_{\μ\ν}= \压裂{8 \πG} {c ^ 4} T_{\μ\ν}识别gydF4y2Ba$
  爱因斯坦场方程是求解几何的许多耦合偏微分方程的集合gydF4y2Ba时空gydF4y2Ba在gydF4y2Ba广义相对论gydF4y2Ba就物质/能量而言gydF4y2Ba $T_{\μ\ν}识别gydF4y2Ba$它存在于时空中。上面的左边包含表达式gydF4y2Ba $R_{\μ\ν}gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $RgydF4y2Ba$，它们是通过时空度规偏导数的复杂组合来定义的gydF4y2Ba $g_{\μ\ν}gydF4y2Ba$这决定了距离的测量方法。gydF4y2Ba

• 布莱克-斯科尔斯公式:gydF4y2Ba $\displaystyle \partial_t V + \frac12 \sigma²S²\partial_S²V + rS \partial_S V - rV = 0gydF4y2Ba$
  布莱克-斯科尔斯方程是偏微分方程在金融学中的一个著名应用。它为价格建模gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$用描述期权价值的变量，即标准差来表示衍生品投资gydF4y2Ba $\σgydF4y2Ba$股票收益的主要因素是价格gydF4y2Ba $年代gydF4y2Ba$和无风险利率gydF4y2Ba $rgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

[1]魏斯坦，埃里克·W。gydF4y2Ba偏导数。gydF4y2Ba来自MathWorld—Wolfram Web资源。http://mathworld.wolfram.com/PartialDerivative.html。gydF4y2Ba