利用Pappus定理可以很容易地计算出环面的表面积和体积。环面是一个有半径的圆
r<R,集中在
(R,0)然后绕着
y设在。圆的表面和被圆包围的区域的质心都是圆的圆心。这个距离是
2πR当它旋转时,表面积是
2πR乘以弧长
2πr圆的,体积是
2πR乘以面积
πr2圆的。也就是说,
环面的表面积环面的体积=4π2Rr=2π2Rr2.
旋转一个有腿的直角三角形
r而且
h绕腿的长度
h产生一个蛋筒。圆锥的表面(不包括圆底)是通过旋转斜边来得到的。斜边的质心就是位于圆锥体中间的中点,它移动了一段距离
22πr因为它旋转。所以表面积是
πrr2+h2
冠毛的定理。
三角形的质心是三个顶点的质心三角形的重心维基),它位于一个距离
3.r从旋转轴
(而且
3.h以上基础
).所以体积是
2π(3.r)乘以三角形的面积,也就是
2rh.该产品是
3.1πr2h,圆锥体积的熟悉公式。
球体的体积和表面积可以用Pappus的定理计算,但计算涉及到非平凡积分;在这种情况下,Pappus的定理并没有提供“捷径”。
让
C是曲线
y=r2−x2
.半径球
r通过旋转得到
C在
x设在。弧长
l的
C只是
πr因为它是半圆。
的重心
C在
y设在对称。它的
y-coordinate由公式给出
y=l1∫−rry1+(dxdy)2
dx.
这里的推理是,质心是质心,是一小段弧在一小段长度上的质量
dx在
x-轴与弧长成正比,即
1+(dxdy)2
dx.(见弧长维基百科有详细的解释。)所以质心的位置是
πr1∫−rrr2−x2
1+r2−x2x2
dxt=πr1∫−rrr2−x2
r2−x2r2
dx=πr1∫−rrrdx=πr2r2=π2r.
所以表面积是
2π倍
y质心的-坐标,乘以弧长,也就是
2π(π2r)(πr)=4πr2.
的
y的-坐标为的(二重)积分
y除以区域面积:
21πr21∬Rydydx=πr22∫−rr2y2∣∣∣∣0r2−x2
dx=πr21∫−rr(r2−x2)dx=πr21(r2x−3.x3.)∣∣∣∣−rr=3.π4r.
所以体积是
2π倍
y质心的-坐标,乘以面积,也就是
2π(3.π4r)2πr2=3.4πr3.,
像预期的那样。